Dynkinův systém - Dynkin system

A Dynkinův systém, pojmenoval podle Eugene Dynkin, je sbírka z podmnožiny jiného univerzála soubor ${ displaystyle Omega}$ uspokojující sadu axiomy slabší než ti z σ-algebra. Dynkinovy systémy jsou někdy označovány jako λ-systémy (Dynkin sám použil tento termín) nebo d-systém.^[1] Tyto rodiny sad mají aplikace v teorie míry a pravděpodobnost.

Hlavní aplikací systémů λ je věta π-λ, viz níže.

Definice

Nechť Ω je a neprázdný nastavit a nechat ${ displaystyle D}$ být sbírka podmnožin Ω (tj. ${ displaystyle D}$ je podmnožinou souboru napájecí sada Ω). Pak ${ displaystyle D}$ je systém Dynkin, pokud

Ω ∈ ${ displaystyle D}$ ,
-li A, B ∈ ${ displaystyle D}$ a A ⊆ B, pak B ${ displaystyle setminus}$ A ∈ ${ displaystyle D}$ ,
-li A₁, A₂, A₃, ... je sled podmnožin v ${ displaystyle D}$ a A_n ⊆ A_n+1 pro všechny n ≥ 1, pak ${ displaystyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} v D}$ .

Ekvivalentně ${ displaystyle D}$ je systém Dynkin, pokud

Ω ∈ ${ displaystyle D}$ ,
-li A ∈ ${ textstyle D}$ , pak A^C ∈ ${ displaystyle D}$ ,
-li A₁, A₂, A₃, ... je sled podmnožin v ${ displaystyle D}$ takhle A_i ∩ A_j = Ø pro všechny i ≠ j, pak ${ displaystyle bigcup _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} v D}$ .

Druhá definice je obecně upřednostňována, protože je obvykle snazší ji zkontrolovat.

Důležitým faktem je, že systém Dynkin, který je také π-systém (tj. uzavřeno pod konečnými křižovatkami) je a σ-algebra. To lze ověřit poznamenáním, že podmínky 2 a 3 společně s uzávěrem pod konečnými křižovatkami znamenají uzavření v spočetných spojích.

Vzhledem k jakékoli sbírce ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ podskupin ${ displaystyle Omega}$ existuje jedinečný systém Dynkin označený ${ displaystyle D {{ mathcal {J}} }}$ což je s ohledem na obsah minimální ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ . To je, pokud ${ displaystyle { tilde {D}}}$ je jakýkoli systém Dynkin obsahující ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ , pak ${ displaystyle D {{ mathcal {J}} } subseteq { tilde {D}}}$ . ${ displaystyle D {{ mathcal {J}} }}$ se nazývá Dynkinův systém generovaný ${ displaystyle { mathcal {J}}}$ . Poznámka ${ displaystyle D { emptyset } = { emptyset, Omega }}$ . Pro další příklad, pojďme ${ displaystyle Omega = {1,2,3,4 }}$ a ${ displaystyle { mathcal {J}} = {1 }}$ ; pak ${ displaystyle D {{ mathcal {J}} } = { prázdná sada, {1 }, {2,3,4 }, Omega }}$ .

Dynkinova věta o π-λ

Li ${ displaystyle P}$ je π-systém a ${ displaystyle D}$ je systém Dynkin s ${ displaystyle P subseteq D}$ , pak ${ displaystyle sigma {P } subseteq D}$ . Jinými slovy, σ-algebra generovaná ${ displaystyle P}$ je obsažen v ${ displaystyle D}$ .

Jednou z aplikací Dynkinovy věty π-λ je jedinečnost míry, která hodnotí délku intervalu (známého jako Lebesgueovo opatření ):

Nechť (Ω, B, λ) být jednotkový interval [0,1] se zapnutou Lebesgueovou mírou Sady Borel. Nechť μ být další opatření na Ω splňující μ [(A,b)] = b − Aa nechte D být rodinou souprav S takové, že μ [S] = λ [S]. Nechat Já = { (A,b),[A,b),(A,b],[A,b] : 0 < A ≤ b <1} a dodržujte to Já je uzavřen pod konečnými křižovatkami, to Já ⊂ D, a to B je σ-algebra generovaná Já. Může se ukázat, že D splňuje výše uvedené podmínky pro systém Dynkin. Z Dynkinovy věty π-λ to vyplývá D ve skutečnosti zahrnuje všechny B, což odpovídá prokázání, že Lebesgueovo opatření je jedinečné B.

Aplikace na rozdělení pravděpodobnosti

The $π$ -λ věta motivuje společnou definici rozdělení pravděpodobnosti a náhodná proměnná ${ displaystyle X colon ( Omega, { mathcal {F}}, operatorname {P}) rightarrow mathbb {R}}$ pokud jde o jeho kumulativní distribuční funkce. Připomeňme, že kumulativní rozdělení náhodné proměnné je definováno jako

{ displaystyle F_ {X} (a) = operatorname {P} left [X leq a right], qquad a in mathbb {R},}

zatímco zdánlivě obecnější zákon proměnné je míra pravděpodobnosti

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} (B) = operatorname {P} vlevo [X ^ {- 1} (B) vpravo], qquad B v { mathcal {B} } ( mathbb {R}),}

kde ${ displaystyle { mathcal {B}} ( mathbb {R})}$ je Borel σ-algebra. Říkáme, že náhodné proměnné ${ displaystyle X colon ( Omega, { mathcal {F}}, operatorname {P})}$ , a ${ displaystyle Y colon ({ tilde { Omega}}, { tilde { mathcal {F}}}, { tilde { operatorname {P}}}) rightarrow mathbb {R}}$ (na dvou možných odlišných prostorech pravděpodobnosti) jsou si rovni v distribuci (nebo zákon), ${ displaystyle X , { stackrel { mathcal {D}} {=}} , Y}$ , pokud mají stejné kumulativní distribuční funkce, $F X = F Y$ . Motivace pro definici vychází z pozorování, že pokud $F X = F Y$ , pak to přesně znamená ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X}}$ a ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {Y}}$ dohodnout se na $π$ -Systém ${ displaystyle left {(- infty, a] dvojtečka a in mathbb {R} doprava }}$ který generuje ${ displaystyle { mathcal {B}} ( mathbb {R})}$ , a tak podle příklad výše: ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} = { mathcal {L}} _ {Y}}$ .

Podobný výsledek platí pro společné rozdělení náhodného vektoru. Předpokládejme například X a Y jsou dvě náhodné proměnné definované ve stejném prostoru pravděpodobnosti ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, operatorname {P})}$ , s příslušně vygenerovanými $π$ -systémy ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {X}}$ a ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {Y}}$ . Společná kumulativní distribuční funkce $(X, Y)$ je

{ displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = operatorname {P} left [X leq a, Y leq b right] = operatorname {P} left [X ^ {- 1} ((- - infty, a]) cap Y ^ {- 1} ((- infty, b]) right], qquad a, b in mathbb {R}.}

Nicméně, ${ displaystyle A = X ^ {- 1} ((- infty, a]) in { mathcal {I}} _ {X}}$ a ${ displaystyle B = Y ^ {- 1} ((- infty, b]) in { mathcal {I}} _ {Y}}$ . Od té doby

{ displaystyle { mathcal {I}} _ {X, Y} = {A cap B: A in { mathcal {I}} _ {X}, , B in { mathcal {I} } _ {Y} }}

je $π$ -systém generovaný náhodným párem $(X, Y)$ , $π$ -λ věta se používá k prokázání, že funkce společného kumulativního rozdělení postačuje k určení společného práva $(X, Y)$ . Jinými slovy, $(X, Y)$ a $(Ž, Z)$ mají stejnou distribuci právě tehdy, pokud mají stejnou společnou kumulativní distribuční funkci.

V teorii stochastických procesů dva procesy ${ displaystyle (X_ {t}) _ {t v T}, (Y_ {t}) _ {t v T}}$ je známo, že jsou si rovni v distribuci právě tehdy, když souhlasí se všemi konečnými dimenzionálními distribucemi. tj. pro všechny ${ displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n} v T, , n v mathbb {N}}$ .

{ displaystyle (X_ {t_ {1}}, ldots, X_ {t_ {n}}) , { stackrel { mathcal {D}} {=}} , (Y_ {t_ {1}}, ldots, Y_ {t_ {n}}).}

Důkazem toho je další aplikace $π$ -λ teorém.^[2]

Viz také

Algebra množin - Totožnosti a vztahy mezi množinami zahrnujícími doplňky, inkluze ⊆ a konečné odbory ∪ a křižovatky ∩.
8-kroužek
Pole množin - Algebraický koncept v teorii míry
Monotónní třída
$π$ -Systém - Neprázdná rodina množin, kde průsečík jakýchkoli dvou členů je opět členem.
Prsten sad
σ-algebra
σ-kroužek

Poznámky

^ Aliprantis, Charalambos; Border, Kim C. (2006). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (Třetí vydání.). Springer. Citováno 23. srpna 2010.
^ Kallenberg, Základy moderní pravděpodobnosti, str. 48

Reference

Gut, Allan (2005). Pravděpodobnost: Postgraduální kurz. New York: Springer. doi:10.1007 / b138932. ISBN 0-387-22833-0.
Billingsley, Patrick (1995). Pravděpodobnost a míra. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
Williams, David (2007). Pravděpodobnost u Martingales. Cambridge University Press. p. 193. ISBN 0-521-40605-6.

Tento článek obsahuje materiál ze systému Dynkin PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[1] Aliprantis, Charalambos; Border, Kim C. (2006). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (Třetí vydání.). Springer. Citováno 23. srpna 2010.

[2] Kallenberg, Základy moderní pravděpodobnosti, str. 48

[1]

[2]