Paralelizace (matematika) - Parallelization (mathematics)

v matematika, a paralelizace^[1] a potrubí ${ displaystyle M ,}$ dimenze n je sada n globální lineárně nezávislé vektorová pole.

Formální definice

Vzhledem k rozmanitosti ${ displaystyle M ,}$ dimenze n, a paralelizace z ${ displaystyle M ,}$ je sada ${ displaystyle {X_ {1}, tečky, X_ {n} }}$ z n vektorové pole definované na Všechno z ${ displaystyle M ,}$ tak, že pro každého ${ displaystyle p v M ,}$ sada ${ displaystyle {X_ {1} (p), tečky, X_ {n} (p) }}$ je základ z ${ displaystyle T_ {p} M ,}$, kde ${ displaystyle T_ {p} M ,}$ označuje vlákno znovu ${ displaystyle p ,}$ z tečný vektorový svazek ${ displaystyle TM ,}$.

Volá se rozdělovač paralelizovatelný kdykoli připouští a paralelizace.

Příklady

• Každý Lež skupina je paralelizovatelné potrubí.
• Produkt paralelizovatelného rozdělovače je paralelizovatelný.
• Každý afinní prostor, považovaný za rozmanitý, je paralelizovatelný.

Vlastnosti

Tvrzení. Potrubí ${ displaystyle M ,}$ je paralelizovatelný, pokud existuje difeomorfismus ${ displaystyle phi colon TM longrightarrow M times { mathbb {R} ^ {n}} ,}$ tak, že první projekce ${ displaystyle phi ,}$ je ${ displaystyle tau _ {M} dvojtečka TM longrightarrow M ,}$ a pro každého ${ displaystyle p v M ,}$ druhý faktor - omezen na ${ displaystyle T_ {p} M ,}$—Je lineární mapa ${ displaystyle phi _ {p} dvojtečka T_ {p} M rightarrow { mathbb {R} ^ {n}} ,}$.

Jinými slovy, ${ displaystyle M ,}$ je paralelizovatelný právě tehdy ${ displaystyle tau _ {M} dvojtečka TM longrightarrow M ,}$ je triviální svazek. Předpokládejme například, že ${ displaystyle M ,}$ je otevřená podmnožina z ${ displaystyle { mathbb {R} ^ {n}} ,}$, tj. otevřený podmanifold ${ displaystyle { mathbb {R} ^ {n}} ,}$. Pak ${ displaystyle TM ,}$ je rovný ${ displaystyle M times { mathbb {R} ^ {n}} ,}$, a ${ displaystyle M ,}$ je jasně paralelizovatelný.^[2]

Viz také

• Graf (topologie)
• Diferencovatelné potrubí
• Balíček rámů
• Ortonormální svazek rámců
• Hlavní balíček
• Spojení (matematika)
• G-struktura
• Web (diferenciální geometrie)

Poznámky

Reference

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Milnor, J.W .; Stasheff, J.D. (1974), Charakteristické třídy, Princeton University Press