Stav Kreins - Kreins condition - Wikipedia

v matematická analýza, Kreinův stav poskytuje nezbytnou a dostatečnou podmínku pro exponenciální součty

${ displaystyle left { sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} exp (i lambda _ {k} x), quad a_ {k} in mathbb {C}, , lambda _ {k} geq 0 right },}$

být hustý v vážený L₂ prostor na skutečné linii. Objevil jej Mark Kerin ve 40. letech 20. století.^[1] Důsledek, nazývaný také Kreinův stav, poskytuje dostatečnou podmínku pro neurčitost momentový problém.^[2][3]

Prohlášení

Nechat μ být absolutně kontinuální opatření na skutečné linii, dμ(X) = F(X) dX. Exponenciální součty

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} exp (i lambda _ {k} x), quad a_ {k} in mathbb {C}, , lambda _ {k} geq 0}$

jsou husté L₂(μ) právě tehdy

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {- ln f (x)} {1 + x ^ {2}}} , dx = infty.}$

Neurčitost aktuálního problému

Nechat μ být jak je uvedeno výše; předpokládejme, že všechny momenty

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} d mu (x), quad n = 0,1,2, ldots}$

z μ jsou konečné. Li

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {- ln f (x)} {1 + x ^ {2}}} , dx < infty}$

drží, pak Hamburgerův momentový problém pro μ je neurčitý; to znamená, že existuje další opatření ν ≠ μ na R takhle

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} , d nu (x), quad n = 0,1,2, ldots}$

To lze odvodit z části „pouze pokud“ výše uvedené Kreinovy ​​věty.^[4]

Příklad

Nechat

${ displaystyle f (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} exp left {- ln ^ {2} x right };}$

opatření dμ(X) = F(X) dX se nazývá Stieltjes – Wigertova míra. Od té doby

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {- ln f (x)} {1 + x ^ {2}}} dx = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { ln ^ {2} x + ln { sqrt { pi}}} {1 + x ^ {2}}} , dx < infty,}$

problém s hamburgerovým momentem pro μ je neurčitý.

Reference