Langlands – Deligne místní konstanta - Langlands–Deligne local constant
V matematice je Langlands – Deligne místní konstanta, také známý jako místní faktor epsilon[1] nebo místní číslo kořene Artin (až do základní reálné funkce s), je základní funkce spojené s a zastoupení z Weilova skupina a místní pole. The funkční rovnice
- L (ρ,s) = ε (ρ,s) L (ρ.)∨,1−s)
z Funkce Artin L. má elementární funkci ε (ρ,s), která se v něm objevuje, rovná se konstanta zvaná Artin kořenové číslo krát elementární reálná funkce sa Langlands zjistili, že ε (ρ,s) lze psát kanonickým způsobem jako produkt
- ε (ρ,s) = Π ε (ρproti, s, ψproti)
místních konstant ε (ρproti, s, ψproti) spojené s prvočísly proti.
Tate dokázal existenci lokálních konstant v případě, že ρ je 1-rozměrný Tateova práce.Dwork (1956) prokázal existenci lokální konstanty ε (ρproti, s, ψproti) až podepsat. Původní důkaz o existenci místních konstant od Langlands (1970) používal místní metody a byl poměrně dlouhý a komplikovaný a nikdy nebyl publikován. Deligne (1973) později objevil jednodušší důkaz pomocí globálních metod.
Vlastnosti
Místní konstanty ε (ρ, s, ψE) závisí na reprezentaci ρ Weilovy skupiny a volbě znaku ψE skupiny doplňkových látek E. Splňují následující podmínky:
- Pokud je ρ jednorozměrné, pak ε (ρ, s, ψE) je konstanta spojená s ní Tateho prací jako konstanta ve funkční rovnici lokální L-funkce.
- ε (ρ1⊕ρ2, s, ψE) = ε (ρ1, s, ψE) ε (ρ2, s, ψE). Výsledkem je, že ε (ρ, s, ψE) lze definovat také pro virtuální reprezentace ρ.
- Pokud ρ je virtuální reprezentace dimenze 0 a E obsahuje K. pak ε (ρ, s, ψE) = ε (IndE/K.ρ, s, ψK.)
Brauerova věta o indukovaných postavách znamená, že tyto tři vlastnosti charakterizují místní konstanty.
Deligne (1976) ukázaly, že lokální konstanty jsou triviální pro skutečné (ortogonální) reprezentace skupiny Weil.
Notační konvence
Existuje několik různých konvencí pro označení místních konstant.
- Parametr s je nadbytečné a lze jej kombinovat s reprezentací ρ, protože ε (ρ, s, ψE) = ε (ρ⊗ ||.)s, 0, ψE) pro vhodný znak ||.
- Deligne obsahuje další parametr dx skládající se z výběru Haarovy míry na místním poli. Jiné konvence tento parametr vynechávají tím, že opraví volbu Haarovy míry: buď Haarova míra, která je sama duální vzhledem k ψ (používaná Langlandsem), nebo Haarova míra, která dává celá čísla E opatření 1. Tyto různé konvence se liší elementárními pojmy, která jsou kladnými reálnými čísly.
Reference
- ^ Kramer, K .; Tunnell, J. (1982). "Eliptické křivky a lokální ϵ faktory". Compositio Mathematica. 46 (3, ): 307–352.CS1 maint: extra interpunkce (odkaz)
- Bushnell, Colin J.; Henniart, chlapi (2006), Místní domněnka Langlands pro GL (2)Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 335, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / 3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, PAN 2234120, ISBN 978-3-540-31486-8
- Deligne, Pierre (1973), "Les Constantes des équations fonctionnelles des fonctions L", Modulární funkce jedné proměnné II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972)Přednášky z matematiky, 349, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 501–597, doi:10.1007/978-3-540-37855-6_7, PAN 0349635
- Deligne, Pierre (1976), „Les constantes locales de l'équation fonctionnelle de la fonction L d'Artin d'une représentation orthogonale“, Inventiones Mathematicae, 35: 299–316, doi:10.1007 / BF01390143, ISSN 0020-9910, PAN 0506172
- Dwork, Bernard (1956), "O kořenovém čísle Artina", American Journal of Mathematics, 78: 444–472, doi:10.2307/2372524, ISSN 0002-9327, JSTOR 2372524, PAN 0082476
- Langlands, Robert (1970), Na funkční rovnici Artinových L-funkcí, Nepublikované poznámky
- Tate, John T. (1977), „Local constants“, ve Fröhlich, A. (ed.), Algebraická číselná pole: funkce L a vlastnosti Galois (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Boston, MA: Akademický tisk, str. 89–131, ISBN 978-0-12-268960-4, PAN 0457408
- Tate, J. (1979), „Number theoretic background“, Automorfní formy, reprezentace a funkce L, část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXXIII„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 3–26, ISBN 0-8218-1435-4
externí odkazy
- Perlis, R. (2001) [1994], "Artin root numbers", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS