(g, K) -modul - (g,K)-module

v matematika, konkrétněji v teorie reprezentace z redukční Lieovy skupiny, a ${displaystyle ({mathfrak {g}}, K)}$-modul je algebraický objekt, který poprvé představil Harish-Chandra,^[1] slouží k řešení spojitých nekonečně rozměrných reprezentací pomocí algebraických technik. Harish-Chandra ukázala, že studium neredukovatelné jednotné reprezentace skutečné redukční Lieovy skupiny, G, lze redukovat na studium neredukovatelného ${displaystyle ({mathfrak {g}}, K)}$-moduly, kde ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je Lež algebra z G a K. je maximální kompaktní podskupina z G.^[2]

Definice

Nechat G být skutečnou lží. Nechat ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ být jeho ležovou algebrou a K. maximální kompaktní podskupina s Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {k}}}$. A ${displaystyle ({mathfrak {g}}, K)}$-module je definován následovně:^[3] to je vektorový prostor PROTI to je obojí Zastoupení algebry lži z ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a a skupinové zastoupení z K. (bez ohledu na topologie z K.) splňující následující tři podmínky

1. pro všechny proti ∈ PROTI, k ∈ K., a X ∈ ${displaystyle {mathfrak {g}}}$

${displaystyle kcdot (Xcdot v) = (operatorname {Ad} (k) X) cdot (kcdot v)}$

2. pro všechny proti ∈ PROTI, Kv rozpětí a konečně-dimenzionální podprostor PROTI na kterém je akce K. je spojitý

3. pro všechny proti ∈ PROTI a Y ∈ ${displaystyle {mathfrak {k}}}$

${displaystyle left.left ({frac {d} {dt}} exp (tY) cdot vight) ight | _ {t = 0} = Ycdot v.}$

Nahoře tečka, ${displaystyle cdot}$, označuje jak akci ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ na PROTI a to z K.. Zápis reklamy (k) označuje adjunkční akce z G na ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, a Kv je sada vektorů ${displaystyle kcdot v}$ tak jako k se liší ve všech K..

První podmínku lze chápat následovně: pokud G je obecná lineární skupina GL (n, R), pak ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ je algebra všech n podle n matice a adjunktní akce k na X je kXk⁻¹; podmínku 1 lze poté číst jako

${displaystyle kXv = kXk ^ {- 1} kv = left (kXk ^ {- 1} ight) kv.}$

Jinými slovy, jedná se o požadavek kompatibility mezi akcemi K. na PROTI, ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ na PROTI, a K. na ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Třetí podmínkou je také podmínka kompatibility, tentokrát mezi akcí ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ na PROTI nahlíženo jako subležská algebra ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a jeho působení vnímáno jako rozdíl působení K. na PROTI.

Poznámky

Reference

• Doran, Robert S .; Varadarajan, V. S., eds. (2000), Matematické dědictví Harish-ChandraSborník sympozií z čisté matematiky, 68, AMS, ISBN  978-0-8218-1197-9, PAN  1767886
• Wallach, Nolan R. (1988), Skutečné redukční skupiny IČistá a aplikovaná matematika, 132Akademický tisk, ISBN  978-0-12-732960-4, PAN  0929683