Seznam momentů setrvačnosti - List of moments of inertia

Moment setrvačnosti, označeno $Já$ , měří, do jaké míry objekt odolává rotační zrychlení o a konkrétní osa, a je rotační analogií k Hmotnost (což určuje odolnost objektu vůči lineární akcelerace ). Hmotnostní momenty setrvačnosti mají Jednotky z dimenze ML²([hmotnost] × [délka]²). To by nemělo být zaměňováno s druhý okamžik oblasti, který se používá při výpočtech paprsku. Hmotnostní moment setrvačnosti je často také známý jako rotační setrvačnost, a někdy jako úhlová hmota.

U jednoduchých objektů s geometrickou symetrií lze často přesně určit moment setrvačnosti uzavřený výraz. K tomu obvykle dochází, když hustota hmoty je konstantní, ale v některých případech se může hustota měnit i v celém objektu. Obecně nemusí být jednoduché symbolicky vyjádřit moment setrvačnosti tvarů se složitějšími rozloženími hmoty a bez symetrie. Při výpočtu momentů setrvačnosti je užitečné si uvědomit, že se jedná o aditivní funkci, a využít paralelní osa a věty o kolmé ose.

Tento článek se zabývá hlavně symetrickým rozložením hmoty s konstantní hustotou v celém objektu a osa otáčení je považována za těžiště Pokud není uvedeno jinak.

Okamžiky setrvačnosti

Následují skalární momenty setrvačnosti. Obecně je moment setrvačnosti a tenzor, viz. níže.

Popis	Postava	Moment setrvačnosti
Bodová hmota M na dálku r od osy otáčení. Bodová hmota nemá moment setrvačnosti kolem své vlastní osy, ale pomocí věta o paralelní ose dosáhne se momentu setrvačnosti kolem vzdálené osy otáčení.		${ displaystyle I = Mr ^ {2}}$
Dvoubodové hmoty, m₁ a m₂, s snížená hmotnost μ a odděleny vzdáleností X, kolem osy procházející těžištěm soustavy a kolmé k přímce spojující dvě částice.		${ displaystyle I = { frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} ! + ! m_ {2}}} x ^ {2} = mu x ^ {2}}$
Tyč délky L a mše m, rotující kolem jeho středu. Tento výraz předpokládá, že tyč je nekonečně tenký (ale tuhý) drát. Toto je speciální případ tenké obdélníkové desky s osou otáčení ve středu desky, s w = L a h = 0.		${ displaystyle I _ { mathrm {center}} = { frac {1} {12}} ml ^ {2} , !}$ ^[1]
Tyč délky L a mše m, rotující kolem jednoho konce. Tento výraz předpokládá, že tyč je nekonečně tenký (ale tuhý) drát. Toto je také speciální případ tenké obdélníkové desky s osou otáčení na konci desky, s h = L a w = 0.		${ displaystyle I _ { mathrm {end}} = { frac {1} {3}} ml ^ {2} , !}$ ^[1]
Tenká kruhová smyčka o poloměru r a mše m. Toto je speciální případ a torus pro A = 0 (viz níže), stejně jako silnostěnná válcová trubka s otevřenými konci, s r₁ = r₂ a h = 0.		${ displaystyle I_ {z} = mr ^ {2} !}$ ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {1} {2}} mr ^ {2} , !}$
Tenký, pevný disk poloměru r a mše m. Toto je speciální případ plného válce s h = 0. To ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {I_ {z}} {2}} ,}$ je důsledkem věta o kolmé ose.		${ displaystyle I_ {z} = { frac {1} {2}} mr ^ {2} , !}$ ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {1} {4}} mr ^ {2} , !}$
Jednotný disk kolem osy kolmé k jeho okraji.		${ displaystyle I = { frac {3} {2}} mr ^ {2}}$ ^[2]
Tenký, jednotný kotouč o poloměru r₂ a mše m s kruhovým otvorem o poloměru r₁ o jeho středu.		${ displaystyle I = { frac {1} {2}} m (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2})}$
Tenký válcovitý skořápka s otevřenými konci, o poloměru r a mše m. Tento výraz předpokládá, že tloušťka skořepiny je zanedbatelná. Jedná se o speciální případ silnostěnné válcové trubky pro r₁ = r₂Také bodová hmota m na konci tyče délky r má stejný moment setrvačnosti a hodnotu r se nazývá poloměr kroužení.		${ displaystyle I cca mr ^ {2} , !}$ ^[1]
Plný válec o poloměru r, výška h a mše m. Jedná se o speciální případ silnostěnné válcové trubky s r₁ = 0.		${ displaystyle I_ {z} = { frac {1} {2}} mr ^ {2} , !}$ ^[1] ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {1} {12}} m vlevo (3r ^ {2} + h ^ {2} vpravo)}$
Tlustá válcová trubka s otevřenými konci, s vnitřním poloměrem r₁, vnější poloměr r₂, délka h a mše m.		${ displaystyle I_ {z} = { frac {1} {2}} m vlevo (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} vpravo) = mr_ {2} ^ {2 } left (1-t + { frac {t ^ {2}} {2}} right)}$ ^[1]^[3] kde t = (r₂ - r₁)/r₂ je normalizovaný poměr tloušťky; ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {1} {12}} m vlevo (3 vlevo (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} vpravo ) + h ^ {2} vpravo)}$ Výše uvedený vzorec platí pro rovinu xy uprostřed válce. Pokud je rovina xy ve spodní části válce, platí následující vzorec: ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {1} {12}} m vlevo (3 vlevo (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} vpravo ) + 4 h ^ {2} vpravo)}$
S hustotou ρ a stejnou geometrii poznámka: toto je pro objekt s konstantní hustotou		${ displaystyle I_ {z} = { frac { pi rho h} {2}} vlevo (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4} vpravo)}$ ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac { pi rho h} {12}} vlevo (3 (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4}) + h ^ {2} (r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2}) vpravo)}$
Pravidelný čtyřstěn ze strany s a mše m		${ displaystyle I _ { mathrm {solid}} = { frac {1} {20}} ms ^ {2} , !}$ ${ displaystyle I _ { mathrm {hollow}} = { frac {1} {12}} ms ^ {2} , !}$ ^[4]
Pravidelný osmistěn ze strany s a mše m		${ displaystyle I_ {x, mathrm {hollow}} = I_ {y, mathrm {hollow}} = I_ {z, mathrm {hollow}} = { frac {1} {6}} ms ^ {2 } , !}$ ^[4] ${ displaystyle I_ {x, mathrm {solid}} = I_ {y, mathrm {solid}} = I_ {z, mathrm {solid}} = { frac {1} {10}} ms ^ {2 } , !}$ ^[4]
Pravidelný dvanáctistěn ze strany s a mše m		${ displaystyle I_ {x, mathrm {hollow}} = I_ {y, mathrm {hollow}} = I_ {z, mathrm {hollow}} = { frac {39 phi +28} {90}} ms ^ {2}}$ ${ displaystyle I_ {x, mathrm {solid}} = I_ {y, mathrm {solid}} = I_ {z, mathrm {solid}} = { frac {39 phi +28} {150}} ms ^ {2} , !}$ (kde ${ displaystyle phi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ ) ^[4]
Pravidelný dvacetistěnu ze strany s a mše m		${ displaystyle I_ {x, mathrm {hollow}} = I_ {y, mathrm {hollow}} = I_ {z, mathrm {hollow}} = { frac { phi ^ {2}} {6} } ms ^ {2}}$ ${ displaystyle I_ {x, mathrm {solid}} = I_ {y, mathrm {solid}} = I_ {z, mathrm {solid}} = { frac { phi ^ {2}} {10} } ms ^ {2} , !}$ ^[4]
Dutý koule poloměru r a mše m. Dutá koule může být složena ze dvou hromádek nekonečně tenkých kruhových obručí, kde se poloměr liší od 0 do r (nebo jeden zásobník, kde se poloměr liší od -r na r).		${ displaystyle I = { frac {2} {3}} mr ^ {2} , !}$ ^[1]
Pevná koule (míč) poloměru r a mše m. Kouli lze skládat ze dvou hromádek nekonečně tenkých pevných disků, jejichž poloměr se liší od 0 do r (nebo jeden zásobník, kde se poloměr liší od -r na r).		${ displaystyle I = { frac {2} {5}} mr ^ {2} , !}$ ^[1]
Koule (skořápka) o poloměru r₂ a mše m, se středovou sférickou dutinou o poloměru r₁. Když je poloměr dutiny r₁ = 0, objekt je pevná koule (výše). Když r₁ = r₂, ${ displaystyle left ({ frac {r_ {2} ^ {5} -r_ {1} ^ {5}} {r_ {2} ^ {3} -r_ {1} ^ {3}}}} vpravo ) = { frac {5} {3}} r_ {2} ^ {2}}$ , a objekt je dutá koule.		${ displaystyle I = { frac {2} {5}} m vlevo ({ frac {r_ {2} ^ {5} -r_ {1} ^ {5}} {r_ {2} ^ {3} -r_ {1} ^ {3}}} vpravo) , !}$ ^[1]
Že jo oběžník kužel s poloměrem r, výška h a mše m		${ displaystyle I_ {z} = { frac {3} {10}} mr ^ {2} , !}$ ^[5] O ose procházející špičkou: ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m vlevo ({ frac {3} {20}} r ^ {2} + { frac {3} {5}} h ^ {2} vpravo ) , !}$ ^[5] O ose procházející základnou: ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m vlevo ({ frac {3} {20}} r ^ {2} + { frac {1} {10}} h ^ {2} vpravo ) , !}$ O ose procházející těžištěm: ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m vlevo ({ frac {3} {20}} r ^ {2} + { frac {3} {80}} h ^ {2} vpravo ) , !}$
Že jo oběžník dutý kužel s poloměrem r, výška h a mše m		${ displaystyle I_ {z} = { frac {1} {2}} mr ^ {2} , !}$ ^[5] ${ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = { frac {1} {4}} m vlevo (r ^ {2} + 2h ^ {2} vpravo) , !}$ ^[5]
Torus s menším poloměrem A, poloměr hlavní b a mše m.		O ose procházející středem a kolmé k průměru: ${ displaystyle { frac {1} {4}} m vlevo (4b ^ {2} + 3a ^ {2} vpravo)}$ ^[6] O průměru: ${ displaystyle { frac {1} {8}} m vlevo (5a ^ {2} + 4b ^ {2} vpravo)}$ ^[6]
Elipsoid (pevné) poloos A, b, a C s hmotou m		${ displaystyle I_ {a} = { frac {1} {5}} m vlevo (b ^ {2} + c ^ {2} vpravo) , !}$ ${ displaystyle I_ {b} = { frac {1} {5}} m vlevo (a ^ {2} + c ^ {2} vpravo) , !}$ ${ displaystyle I_ {c} = { frac {1} {5}} m vlevo (a ^ {2} + b ^ {2} vpravo) , !}$
Tenká obdélníková deska o výšce h, šířka w a mše m (Osa otáčení na konci desky)		${ displaystyle I_ {e} = { frac {1} {12}} m vlevo (4 h ^ {2} + w ^ {2} vpravo) , !}$
Tenká obdélníková deska o výšce h, šířka w a mše m (Osa otáčení ve středu)		${ displaystyle I_ {c} = { frac {1} {12}} m vlevo (h ^ {2} + w ^ {2} vpravo) , !}$ ^[1]
Tenká obdélníková deska o poloměru r^[A] a mše m (Osa otáčení podél strany desky)		${ displaystyle I = { frac {1} {3}} mr ^ {2}}$
Pevný kvádr výšky h, šířka wa hloubku da hmota m. Pro podobně orientované krychle se stranami délky ${ displaystyle s}$ , ${ displaystyle I _ { mathrm {CM}} = { frac {1} {6}} ms ^ {2} , !}$		${ displaystyle I_ {h} = { frac {1} {12}} m vlevo (w ^ {2} + d ^ {2} vpravo)}$ ${ displaystyle I_ {w} = { frac {1} {12}} m vlevo (d ^ {2} + h ^ {2} vpravo)}$ ${ displaystyle I_ {d} = { frac {1} {12}} m vlevo (w ^ {2} + h ^ {2} vpravo)}$
Pevný kvádr výšky D, šířka Ža délka La hmota m, rotující kolem nejdelší úhlopříčky. Pro kostku se stranami ${ displaystyle s}$ , ${ displaystyle I = { frac {1} {6}} ms ^ {2} , !}$ .		${ displaystyle I = { frac {1} {6}} m vlevo ({ frac {W ^ {2} D ^ {2} + D ^ {2} L ^ {2} + W ^ {2} L ^ {2}} {W ^ {2} + D ^ {2} + L ^ {2}}} vpravo)}$
Nakloněný pevný kvádr hloubky d, šířka wa délka la hmota m, rotující kolem svislé osy (osa y, jak je vidět na obrázku). Pro kostku se stranami ${ displaystyle s}$ , ${ displaystyle I = { frac {1} {6}} ms ^ {2} , !}$ .		${ displaystyle I = { frac {m} {12}} vlevo (l ^ {2} cos ^ {2} beta + d ^ {2} sin ^ {2} beta + w ^ {2 }že jo)}$ ^[7]
Trojúhelník s vrcholy na počátku a na P a Q, s hmotou m, rotující kolem osy kolmé na rovinu a procházející počátkem.		${ displaystyle I = { frac {1} {6}} m ( mathbf {P} cdot mathbf {P} + mathbf {P} cdot mathbf {Q} + mathbf {Q} cdot mathbf {Q})}$
Letadlo polygon s vrcholy P₁, P₂, P₃, ..., P_N a mše m rovnoměrně rozloženo v jeho vnitřku, rotující kolem osy kolmé k rovině a procházející počátkem.		${ displaystyle I = m left ({ frac { sum limits _ {n = 1} ^ {N} \| mathbf {P} _ {n + 1} times mathbf {P} _ {n } \| left ( left ( mathbf {P} _ {n} cdot mathbf {P} _ {n} right) + left ( mathbf {P} _ {n} cdot mathbf { P} _ {n + 1} right) + left ( mathbf {P} _ {n + 1} cdot mathbf {P} _ {n + 1} right) right)} {6 sum limits _ {n = 1} ^ {N} \| mathbf {P} _ {n + 1} times mathbf {P} _ {n} \|}} right)}$
Letadlo pravidelný mnohoúhelník s n- vrcholy a hmota m rovnoměrně rozloženo v jeho vnitřku, rotující kolem osy kolmé k rovině a procházející jeho barycentrem. R je poloměr opsané kružnice.		${ displaystyle I = { frac {1} {2}} mR ^ {2} left (1 - { frac {2} {3}} sin ^ {2} left ({ tfrac { pi } {n}} doprava) doprava)}$ ^[8]
Rovnoramenný trojúhelník hmoty M, úhel vrcholu 2β a délka společné strany L (osa přes hrot, kolmá k rovině)		${ displaystyle I = { frac {1} {2}} ml ^ {2} left (1 - { frac {2} {3}} sin ^ {2} left ( beta right) že jo)}$ ^[8]
Nekonečný disk s hmotou distribuovanou v a Bivariační Gaussovo rozdělení na dvou osách kolem osy otáčení s hustotou hmoty jako funkce vektoru polohy ${ displaystyle { mathbf {x}}}$ ${ displaystyle rho ({ mathbf {x}}) = m { frac { exp left (- { frac {1} {2}} { mathbf {x}} ^ { mathrm {T} } { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { mathbf {x}} right)} { sqrt {(2 pi) ^ {2} \| { boldsymbol { Sigma}} \|}} }}$		${ displaystyle I = m cdot operatorname {tr} ({ boldsymbol { Sigma}}) , !}$

Seznam tenzorů 3D setrvačnosti

Tento seznam moment setrvačnosti tenzory je uveden pro hlavní osy každého objektu.

Získat skalární momenty setrvačnosti Já výše, moment setrvačnosti tenzoru Já je promítnuto podél nějaké osy definované a jednotkový vektor n podle vzorce:

{ displaystyle mathbf {n} cdot mathbf {I} cdot mathbf {n} equiv n_ {i} I_ {ij} n_ {j} ,,}

kde tečky označují kontrakce tenzoru a Konvence Einsteinova součtu se používá. Ve výše uvedené tabulce n by byla jednotka Kartézský základ E_X, E_y, E_z získat Já_X, Já_y, Já_z resp.

Popis	Postava	Moment setrvačnosti tenzor
Pevný koule poloměru r a mše m		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {2} {5}} mr ^ {2} & 0 & 0 0 & { frac {2} {5}} mr ^ {2} & 0 0 & 0 & { frac {2} {5}} mr ^ {2} end {bmatrix}}}$
Dutá koule o poloměru r a mše m		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {2} {3}} mr ^ {2} & 0 & 0 0 & { frac {2} {3}} mr ^ {2} & 0 0 & 0 & { frac {2} {3}} mr ^ {2} end {bmatrix}}}$
Pevný elipsoid poloos A, b, C a mše m		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {1} {5}} m (b ^ {2} + c ^ {2}) & 0 & 0 0 & { frac {1} {5}} m (a ^ {2} + c ^ {2}) & 0 0 & 0 & { frac {1} {5}} m (a ^ {2} + b ^ {2}) end {bmatrix}}}$
Pravý kruhový kužel s poloměrem r, výška h a mše mo vrcholu		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {3} {5}} mh ^ {2} + { frac {3} {20}} mr ^ {2} & 0 & 0 0 & { frac { 3} {5}} mh ^ {2} + { frac {3} {20}} mr ^ {2} & 0 0 & 0 & { frac {3} {10}} mr ^ {2} end {bmatrix }}}$
Plný kvádr šířky w, výška h, hloubka da hmota m		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {1} {12}} m (h ^ {2} + d ^ {2}) & 0 & 0 0 & { frac {1} {12}} m (w ^ {2} + d ^ {2}) & 0 0 & 0 & { frac {1} {12}} m (w ^ {2} + h ^ {2}) end {bmatrix}}}$
Štíhlá tyč y- osa délky l a mše m o konci		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {1} {3}} ml ^ {2} & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & { frac {1} {3}} ml ^ {2} end {bmatrix}}}$
Štíhlá tyč y- osa délky l a mše m o centru		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {1} {12}} ml ^ {2} & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & { frac {1} {12}} ml ^ {2} end {bmatrix}}}$
Plný válec o poloměru r, výška h a mše m		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {1} {12}} m (3r ^ {2} + h ^ {2}) & 0 & 0 0 & { frac {1} {12}} m (3r ^ {2} + h ^ {2}) & 0 0 & 0 & { frac {1} {2}} mr ^ {2} end {bmatrix}}}$
Tlustá válcová trubka s otevřenými konci, s vnitřním poloměrem r₁, vnější poloměr r₂, délka h a mše m		${ displaystyle I = { begin {bmatrix} { frac {1} {12}} m (3 (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) + h ^ {2}) & 0 & 0 0 & { frac {1} {12}} m (3 (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) + h ^ {2}) & 0 0 & 0 & { frac {1} {2}} m (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) end {bmatrix}}}$

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Raymond A. Serway (1986). Fyzika pro vědce a inženýry (2. vyd.). Nakladatelství Saunders College Publishing. str.202. ISBN 0-03-004534-7.
^ Gao, Yongli. „Fyzika 141 - Mechanika - Přednáška 15 - Moment setrvačnosti“. Snímek 10: Příklad: Moment setrvačnosti disku kolem Edge. Archivovány od originál dne 24. 09. 2015. Citováno 2014-11-23.
^ Klasická mechanika - moment setrvačnosti jednotného dutého válce Archivováno 2008-02-07 na Wayback Machine. LivePhysics.com. Citováno 2008-01-31.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Satterly, John (1958). „Okamžiky setrvačnosti některých mnohostěnů“. Matematický věstník. Matematická asociace. 42 (339): 11–13. doi:10.2307/3608345. JSTOR 3608345.
^ ^A ^b ^C ^d Ferdinand P. Beer a E. Russell Johnston, Jr. (1984). Vector Mechanics for Engineers, čtvrté vydání. McGraw-Hill. str. 911. ISBN 0-07-004389-2.
^ ^A ^b Eric W. Weisstein. „Moment setrvačnosti - prsten“. Wolfram Research. Citováno 2016-12-14.
^ A. Panagopoulos a G. Chalkiadakis. Moment setrvačnosti potenciálně nakloněných kvádrů. Technická zpráva, University of Southampton, 2015.
^ ^A ^b David Morin (2010). Úvod do klasické mechaniky: s problémy a řešeními; první vydání (8. ledna 2010). Cambridge University Press. str.320. ISBN 978-0521876223.

externí odkazy

Citovat chybu: Existují <ref group=lower-alpha> značky nebo {{efn}} šablony na této stránce, ale reference se bez a {{reflist | group = lower-alpha}} šablony nebo {{notelist}} šablona (viz stránka nápovědy).

[serway-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Raymond A. Serway (1986). Fyzika pro vědce a inženýry (2. vyd.). Nakladatelství Saunders College Publishing. str.202. ISBN 0-03-004534-7.

[2] Gao, Yongli. „Fyzika 141 - Mechanika - Přednáška 15 - Moment setrvačnosti“. Snímek 10: Příklad: Moment setrvačnosti disku kolem Edge. Archivovány od originál dne 24. 09. 2015. Citováno 2014-11-23.

[3] Klasická mechanika - moment setrvačnosti jednotného dutého válce Archivováno 2008-02-07 na Wayback Machine. LivePhysics.com. Citováno 2008-01-31.

[satterly-4] A ^b ^C ^d ^E Satterly, John (1958). „Okamžiky setrvačnosti některých mnohostěnů“. Matematický věstník. Matematická asociace. 42 (339): 11–13. doi:10.2307/3608345. JSTOR 3608345.

[beer-5] A ^b ^C ^d Ferdinand P. Beer a E. Russell Johnston, Jr. (1984). Vector Mechanics for Engineers, čtvrté vydání. McGraw-Hill. str. 911. ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_torus-6] A ^b Eric W. Weisstein. „Moment setrvačnosti - prsten“. Wolfram Research. Citováno 2016-12-14.

[8] A. Panagopoulos a G. Chalkiadakis. Moment setrvačnosti potenciálně nakloněných kvádrů. Technická zpráva, University of Southampton, 2015.

[six-9] A ^b David Morin (2010). Úvod do klasické mechaniky: s problémy a řešeními; první vydání (8. ledna 2010). Cambridge University Press. str.320. ISBN 978-0521876223.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[A]

[7]

[8]