Věta o paralelní ose - Parallel axis theorem

The věta o paralelní ose, také známý jako Věta Huygens – Steiner, nebo stejně Steinerova věta,^[1] pojmenoval podle Christiaan Huygens a Jakob Steiner, lze použít k určení moment setrvačnosti nebo druhý okamžik oblasti a tuhé tělo kolem jakékoli osy, vzhledem k momentu setrvačnosti těla kolem a paralelní osa skrz objekt centrum gravitace a kolmý vzdálenost mezi osami.

Hmotnostní moment setrvačnosti

Hmotnostní moment setrvačnosti tělesa kolem osy lze určit z hmotnostního momentu setrvačnosti kolem rovnoběžné osy středem hmoty.

Předpokládejme těleso hmoty $m$ se otáčí kolem osy $z$ procházející tělem těžiště. Tělo má moment setrvačnosti $Já cm$ vzhledem k této ose. Věta o paralelní ose uvádí, že pokud je tělo namísto toho otočeno kolem nové osy $z '$ , který je rovnoběžný s první osou a je od ní posunut o vzdálenost $d$ , pak moment setrvačnosti $Já$ vzhledem k nové ose souvisí s $Já cm$ podle

{ displaystyle I = I _ { mathrm {cm}} + md ^ {2}.}

Výslovně, $d$ je kolmá vzdálenost mezi osami $z$ a $z '$ .

Věta o paralelní ose může být použita s protáhnout pravidlo a věta o kolmé ose najít momenty setrvačnosti pro různé tvary.

Pravidlo paralelních os pro plošný moment setrvačnosti

Derivace

Můžeme předpokládat, bez ztráty obecnosti, že v a Kartézský souřadnicový systém kolmá vzdálenost mezi osami leží podél X-osa a že těžiště leží v počátku. Moment setrvačnosti ve vztahu k z-os je

{ displaystyle I _ { mathrm {cm}} = int (x ^ {2} + y ^ {2}) , dm.}

Moment setrvačnosti vzhledem k ose $z '$ , což je kolmá vzdálenost $D$ podél X- osa od středu hmoty, je

{ displaystyle I = int left [(x + D) ^ {2} + y ^ {2} right] , dm.}

Rozšíření závorek přináší výnosy

{ displaystyle I = int (x ^ {2} + y ^ {2}) , dm + D ^ {2} int dm + 2D int x , dm.}

První termín je $Já cm$ a druhý termín se stává $mD 2$ . Integrál v posledním semestru je násobkem souřadnic x těžiště - což je nula, protože těžiště leží v počátku. Rovnice se tedy stává:

{ displaystyle I = I _ { mathrm {cm}} + mD ^ {2}.}

Zobecnění tenzoru

Větu o paralelní ose lze zobecnit na výpočty zahrnující setrvačník tensor. Nechat $Já ij$ označuje tenzor setrvačnosti tělesa vypočítaný ve středu hmoty. Pak setrvačník tenzor $J ij$ vypočteno vzhledem k novému bodu je

{ displaystyle J_ {ij} = I_ {ij} + m vlevo (| mathbf {R} | ^ {2} delta _ {ij} -R_ {i} R_ {j} vpravo),}

kde ${ displaystyle mathbf {R} = R_ {1} mathbf { hat {x}} + R_ {2} mathbf { hat {y}} + R_ {3} mathbf { hat {z}} !}$ je vektor posunutí od těžiště k novému bodu a $δ ij$ je Kroneckerova delta.

Pro diagonální prvky (když $i = j$ ), posunutí kolmá k ose rotace vede k výše uvedené zjednodušené verzi věty o paralelní ose.

Zobecněnou verzi věty o paralelní ose lze vyjádřit ve formě souřadnicová notace tak jako

{ displaystyle mathbf {J} = mathbf {I} + m left [ left ( mathbf {R} cdot mathbf {R} right) mathbf {E} _ {3} - mathbf { R} otimes mathbf {R} vpravo],}

kde E₃ je 3 × 3 matice identity a ${ displaystyle otimes}$ je vnější produkt.

Další zobecnění věty o paralelní ose dává tenzor setrvačnosti kolem jakékoli sady ortogonálních os rovnoběžných s referenční sadou os x, y a z, spojené s referenčním tenzorem setrvačnosti, ať procházejí středem hmoty či nikoli.^[2]

Druhý okamžik oblasti

Pravidlo paralelních os platí také pro druhý okamžik oblasti (plošný moment setrvačnosti) pro rovinnou oblast D:

{ displaystyle I_ {z} = I_ {x} + Ar ^ {2},}

kde $Já z$ je plošný moment setrvačnosti D vzhledem k paralelní ose, $Já X$ je plošný moment setrvačnosti D vzhledem k jeho těžiště, $A$ je oblast oblasti letadla D, a $r$ je vzdálenost od nové osy $z$ do těžiště oblasti letadla D. The těžiště z D se shoduje s střed gravitace fyzické desky se stejným tvarem, který má jednotnou hustotu.

Polární moment setrvačnosti pro rovinnou dynamiku

Polární moment setrvačnosti tělesa kolem bodu lze určit z jeho polárního momentu setrvačnosti kolem těžiště.

Hmotnostní vlastnosti tuhého tělesa, které je omezeno na pohyb rovnoběžně s rovinou, jsou definovány jeho těžištěm R = (X, y) v této rovině a její polární moment setrvačnosti Já_R kolem osy skrz R to je kolmé na rovinu. Věta o paralelní ose poskytuje vhodný vztah mezi momentem setrvačnosti I_S kolem libovolného bodu S a moment setrvačnosti I_R o těžištiR.

Připomeňme, že těžiště R má majetek

{ displaystyle int _ {V} rho ( mathbf {r}) ( mathbf {r} - mathbf {R}) , dV = 0,}

kde r je integrován přes hlasitost PROTI z těla. Polární moment setrvačnosti tělesa podstupujícího rovinný pohyb lze vypočítat vzhledem k jakémukoli referenčnímu boduS,

{ displaystyle I_ {S} = int _ {V} rho ( mathbf {r}) ( mathbf {r} - mathbf {S}) cdot ( mathbf {r} - mathbf {S} ) , dV,}

kde S je konstantní a r je integrován přes hlasitostPROTI.

Abychom získali moment setrvačnosti Já_S z hlediska momentu setrvačnosti Já_R, představte vektor d z S do středu hmoty R,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} I_ {S} & = int _ {V} rho ( mathbf {r}) ( mathbf {r} - mathbf {R} + mathbf {d}) cdot ( mathbf {r} - mathbf {R} + mathbf {d}) , dV & = int _ {V} rho ( mathbf {r}) ( mathbf {r} - mathbf {R}) cdot ( mathbf {r} - mathbf {R}) dV + 2 mathbf {d} cdot left ( int _ {V} rho ( mathbf {r}) ( mathbf {r} - mathbf {R}) , dV vpravo) + vlevo ( int _ {V} rho ( mathbf {r}) , dV vpravo) mathbf {d} cdot mathbf {d}. end {zarovnáno}}}

První člen je okamžik setrvačnosti Já_R, druhý člen je nulový podle definice těžiště a poslední člen je celková hmotnost těla krát čtvercová velikost vektorud. Tím pádem,

{ displaystyle I_ {S} = I_ {R} + Md ^ {2}, ,}

který je známý jako věta o paralelní ose.^[3]

Moment setrvačné matice

Matice setrvačnosti tuhého systému částic závisí na volbě referenčního bodu.^[4] Mezi maticí setrvačnosti vzhledem k těžišti existuje užitečný vztah R a setrvačná matice vzhledem k jinému bodu S. Tento vztah se nazývá věta o paralelní ose.

Uvažujme setrvačnou matici [I_S] získaný pro tuhý systém částic měřený vzhledem k referenčnímu bodu S, dána

{ displaystyle [I_ {S}] = - součet _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -S] [r_ {i} -S],}

kde r_i definuje polohu částice P_i, i = 1, ..., n. Odvolej to [r_i − S] je zešikmená symetrická matice, která provádí křížový součin,

{ displaystyle [r_ {i} -S] mathbf {y} = ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {S}) times mathbf {y},}

pro libovolný vektory.

Nechat R být těžištěm tuhého systému, pak

{ displaystyle mathbf {R} = ( mathbf {R} - mathbf {S}) + mathbf {S} = mathbf {d} + mathbf {S},}

kde d je vektor z referenčního bodu S do středu hmoty R. Tuto rovnici použijte k výpočtu matice setrvačnosti,

{ displaystyle [I_ {S}] = - součet _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R + d] [r_ {i} -R + d].}

Rozbalením této rovnice získáte

{ displaystyle [I_ {S}] = left (- sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] [r_ {i} -R] right) + left (- sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] right) [d] + [d] left (- sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} [r_ {i} -R] doprava) + doleva (- součet _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} doprava) [d] [d]. }

První člen je matice setrvačnosti [Já_R] vzhledem k těžišti. Druhý a třetí člen jsou nulové podle definice těžiště R,

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} ( mathbf {r} _ {i} - mathbf {R}) = 0.}

A poslední člen je celková hmotnost systému vynásobená druhou mocninou symetrické matice zešikmení [d] zkonstruováno zd.

Výsledkem je věta o paralelní ose,

{ displaystyle [I_ {S}] = [I_ {R}] - M [d] ^ {2},}

kde d je vektor z referenčního bodu S do středu hmoty R.^[4]

Identity pro symetrickou matici zkosení

Za účelem porovnání formulací věty o paralelní ose pomocí zkosených symetrických matic a tenzorové formulace jsou užitečné následující identity.

Nechť [R] být šikmá symetrická matice spojená s vektorem polohy R = (X, y, z), pak se stane produkt v matici setrvačnosti

{ displaystyle - [R] [R] = - { begin {bmatrix} 0 & -z & y z & 0 & -x - y & x & 0 end {bmatrix}} ^ {2} = { begin {bmatrix} y ^ { 2} + z ^ {2} & - xy & -xz - yx & x ^ {2} + z ^ {2} & - yz - zx & -zy & x ^ {2} + y ^ {2} end {bmatrix }}.}

Tento produkt lze vypočítat pomocí matice vytvořené vnějším produktem [R R^T] pomocí identifikace

{ displaystyle - [R] ^ {2} = | mathbf {R} | ^ {2} [E_ {3}] - [ mathbf {R} mathbf {R} ^ {T}] = { začátek {bmatrix} x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} & 0 & 0 0 & x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} & 0 0 & 0 & x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} end {bmatrix}} - { begin {bmatrix} x ^ {2} & xy & xz yx & y ^ {2} & yz zx & zy & z ^ {2} end {bmatrix}} ,}

kde [E₃] je matice identity 3 × 3.

Všimněte si také, že

{ displaystyle | mathbf {R} | ^ {2} = mathbf {R} cdot mathbf {R} = operatorname {tr} [ mathbf {R} mathbf {R} ^ {T}], }

kde tr označuje součet diagonálních prvků vnější matice produktu, známých jako její stopa.

Viz také

Reference

^ Arthur Erich Haas (1928). Úvod do teoretické fyziky.
^ A. R. Abdulghany, American Journal of Physics 85, 791 (2017); doi: https://dx.doi.org/10.1119/1.4994835 .
^ Paul, Burton (1979), Kinematika a dynamika rovinných strojů, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6
^ ^A ^b T. R. Kane a D. A. Levinson, Dynamika, teorie a aplikace, McGraw-Hill, NY, 2005.

externí odkazy

[1] Arthur Erich Haas (1928). Úvod do teoretické fyziky.

[Abdulghany-2] A. R. Abdulghany, American Journal of Physics 85, 791 (2017); doi: https://dx.doi.org/10.1119/1.4994835 .

[3] Paul, Burton (1979), Kinematika a dynamika rovinných strojů, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-516062-6

[Kane-4] A ^b T. R. Kane a D. A. Levinson, Dynamika, teorie a aplikace, McGraw-Hill, NY, 2005.

[1]

[2]

[3]

[4]