Věta o kolmé ose - Perpendicular axis theorem

The věta o kolmé ose uvádí, že moment setrvačnosti a planární lamina kolem osy kolmé na rovinu laminy se rovná součtu momentů setrvačnosti laminy kolem obou os v pravém úhlu k sobě, ve své vlastní rovině protínající se navzájem v bodě, kde kolmá osa prochází to.

Definujte kolmé osy ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, a ${displaystyle z}$ (které se setkají v místě původu ${displaystyle O}$) takže tělo leží v ${displaystyle xy}$ letadlo a ${displaystyle z}$ osa je kolmá k rovině těla. Nechat Já_X, Já_y a Já_z být momenty setrvačnosti kolem osy x, y, z, věta o kolmé ose to říká^[1]

${displaystyle I_ {z} = I_ {x} + I_ {y}}$

Toto pravidlo lze použít s věta o paralelní ose a protáhnout pravidlo najít polární momenty setrvačnosti pro různé tvary.

Pokud je rovinný objekt (nebo hranol, podle protáhnout pravidlo ) má rotační symetrii takovou ${displaystyle I_ {x}}$ a ${displaystyle I_ {y}}$ jsou rovny^[2], pak věta o kolmých osách poskytuje užitečný vztah:

${displaystyle I_ {z} = 2I_ {x} = 2I_ {y}}$

Derivace

Práce na kartézských souřadnicích, moment setrvačnosti rovinného tělesa kolem ${displaystyle z}$ osa je dána vztahem:^[3]

${displaystyle I_ {z} = int left (x ^ {2} + y ^ {2} ight), dm = int x ^ {2}, dm + int y ^ {2}, dm = I_ {y} + I_ {X}}$

V letadle, ${displaystyle z = 0}$, takže tyto dva pojmy jsou momenty setrvačnosti kolem ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ osy, což dává teorém o kolmé ose. Podobně je odvozena i konverzace této věty.

Všimněte si, že ${displaystyle int x ^ {2}, dm = I_ {y} eq I_ {x}}$ protože v ${displaystyle int r ^ {2}, dm}$, r měří vzdálenost od osa otáčení, takže pro rotaci osy y je vzdálenost odchylky od osy rotace bodu rovna jeho souřadnici x.

Reference

Viz také

• Věta o paralelní ose
• Protahovací pravidlo