Lineární kanonická transformace - Linear canonical transformation - Wikipedia

v Hamiltoniánská mechanika, lineární kanonická transformace (LCT) je rodina integrální transformace který zobecňuje mnoho klasických transformací. Má 4 parametry a 1 omezení, jedná se tedy o trojrozměrnou rodinu a lze ji vizualizovat jako akci speciální lineární skupina SL₂(R) na rovina čas-frekvence (doména).

LCT zobecňuje Fourier, zlomek Fourier, Laplace, Gauss – Weierstrass, Bargmann a Fresnel transformuje jako konkrétní případy. Název „lineární kanonická transformace“ je z kanonická transformace, mapa, která zachovává symplektickou strukturu, jako SL₂(R) lze také interpretovat jako symplektická skupina Sp₂, a tedy LCT jsou lineární mapy časově-frekvenční domény, které zachovávají symlektická forma.

Zvažují se základní vlastnosti výše zmíněných transformací, jako je změna měřítka, posun, násobení souřadnic. Jakákoli lineární kanonická transformace souvisí s afinními transformacemi ve fázovém prostoru, které jsou definovány souřadnicemi čas-frekvence nebo poloha-hybnost.

Definice

LCT lze reprezentovat několika způsoby; nejjednodušší,^[1] lze jej parametrizovat maticí 2 × 2 s determinantem 1, tj. prvkem speciální lineární skupina SL₂(C). Pak pro jakoukoli takovou matici ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} a & b c & d end {smallmatrix}} right),}$ s inzerát − před naším letopočtem = 1, odpovídající integrální transformace z funkce ${ displaystyle x (t)}$ na ${ displaystyle X (u)}$ je definován jako

${ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = { sqrt { frac {1} {ib}}} cdot e ^ {i pi { frac {d} {b} } u ^ {2}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi { frac {1} {b}} ut} e ^ {i pi { frac {a } {b}} t ^ {2}} x (t) ; dt ,,}$	když b ≠ 0,
${ displaystyle X _ {(a, 0, c, d)} (u) = { sqrt {d}} cdot e ^ {i pi cdu ^ {2}} x (du) ,,}$	když b = 0.

Speciální případy

Mnoho klasických transformací je zvláštními případy lineární kanonické transformace:

• Škálování, ${ displaystyle x (u) mapsto { sqrt { sigma}} x ( sigma u)}$, odpovídá měřítku časové a frekvenční dimenze inverzně (jak čas běží rychleji, frekvence jsou vyšší a časová dimenze se zmenšuje):

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 / sigma & 0 0 & sigma end {bmatrix}}}$

• The Fourierova transformace odpovídá rotaci o 90 °, kterou představuje matice:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {bmatrix}}.}$

• The frakční Fourierova transformace odpovídá rotaci o libovolný úhel; oni jsou eliptické prvky SL₂(R), představované maticemi:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & sin theta - sin theta & cos theta end { bmatrix}}.}$

• The Fresnelova transformace odpovídá stříhání a jsou rodinou parabolické prvky, zastoupené maticemi:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & lambda z 0 & 1 end {bmatrix}}.}$

kde z je vzdálenost a λ je vlnová délka.

• The Laplaceova transformace odpovídá rotaci o 90 ° do komplexní domény a může být reprezentována maticí:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0 & i i & 0 end {bmatrix}}.}$

• The Frakční Laplaceova transformace odpovídá rotaci o libovolný úhel do komplexní domény a může být reprezentována maticí:^[2]

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} i cos theta & i sin theta i sin theta & -i cos theta end {bmatrix}}.}$

Složení

Složení LCT odpovídá násobení odpovídajících matic; toto je také známé jako "aditivní vlastnost" WDF ".

Podrobně, pokud je LCT označen Ó_F^(abeceda), tj.

${ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = O_ {F} ^ {(a, b, c, d)} [x (t)] ,}$

pak

${ displaystyle O_ {F} ^ {(a2, b2, c2, d2)} doleva {O_ {F} ^ {(a1, b1, c1, d1)} [x (t)] doprava } = O_ {F} ^ {(a3, b3, c3, d3)} [x (t)] ,,}$

kde

${ displaystyle { begin {bmatrix} a3 & b3 c3 & d3 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} a2 & b2 c2 & d2 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a1 & b1 c1 & d1 end {bmatrix }}.}$

Li ${ displaystyle W_ {X (a, b, c, d)} (u, v)}$je ${ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u)}$, kde ${ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u)}$je LCT ${ displaystyle x (t)}$, pak

${ displaystyle { begin {cases} W_ {X (a, b, c, d)} (u, v) = W_ {x} (du-bv, -cu + av) W_ {X (a, b, c, d)} (au + bv, cu + dv) = W_ {x} (u, v) end {cases}}}$

LCT se rovná operaci kroucení pro WDF a distribuce tříd Cohen má také operaci kroucení.

Můžeme volně použít LCT k transformaci rovnoběžníku, jehož střed je v (0,0), na jiný rovnoběžník, který má stejnou plochu a stejný střed

Z tohoto obrázku víme, že bod (-1,2) se transformuje do bodu (0,1) a bod (1,2) se transformuje do bodu (4,3). Ve výsledku můžeme zapsat níže uvedené rovnice

${ displaystyle { begin {cases} -a + 2b = 0 - c + 2d = 1 end {cases}} , a , { begin {cases} a + 2b = 4 c + 2d = 3 end {cases}}}$

můžeme vyřešit rovnice a get (a, b, c, d) se rovná (2,1,1,1)

Vztah

Na následujícím obrázku shrneme LCT s dalšími transformacemi nebo vlastnostmi

V optice a kvantové mechanice

Paraxiální optické systémy implementováno zcela s tenké čočky a šíření volným prostorem a / nebo médiem s odstupňovaným indexem (GRIN) jsou systémy kvadratické fáze (QPS); tito byli známí dříve, než Moshinsky a Quesne (1974) upozornili na jejich význam v souvislosti s kanonickými transformacemi v kvantové mechanice. Účinek libovolného QPS na vstupní vlnové pole lze popsat pomocí lineární kanonické transformace, jejíž konkrétní případ vyvinuli Segal (1963) a Bargmann (1961) za účelem formalizace Fockova (1928) bosonového počtu.^[3]

v Kvantová mechanika, lineární kanonické transformace lze identifikovat pomocí lineárních transformací, které kombinují Provozovatel hybnosti s Operátor polohy a ponechat neměnný Kanonické komutační vztahy.

Aplikace

K analýze diferenciálních rovnic se používají kanonické transformace. Tyto zahrnují difúze, Schrödingerovy volné částice, lineární potenciál (volný pád) a atraktivní a odpudivé oscilátorové rovnice. Zahrnuje také několik dalších, například Fokker-Planckova rovnice. I když tato třída není zdaleka univerzální, díky snadné nalezení řešení a vlastností je kanonická transformace atraktivním nástrojem pro řešení takových problémů.^[4]

Je zde diskutováno šíření vln vzduchem, čočkou a mezi satelitními anténami. Všechny výpočty lze snížit na maticovou algebru 2 × 2. To je duch LCT.

Šíření elektromagnetických vln

Za předpokladu, že systém vypadá, jak je znázorněno na obrázku, se vlna pohybuje z roviny X_i, y_i do roviny X a y.v Fresnelova transformace se používá k popisu šíření elektromagnetických vln ve vzduchu:

${ displaystyle U_ {0} (x, y) = - { frac {j} { lambda}} { frac {e ^ {jkz}} {z}} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {j { frac {k} {2z}} [(x-x_ {i}) ^ {2} + (y-y_ {i} ) ^ {2}]} U_ {i} (x_ {i}, y_ {i}) ; dx_ {i} ; dy_ {i},}$

s

k = 2 π / λ	: číslo vlny;
λ	: vlnová délka;
z	: vzdálenost šíření;
j	: imaginární jednotka.

To odpovídá LCT (stříhání), když

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & lambda z 0 & 1 end {bmatrix}}.}$

Když je cestovní vzdálenost (z) je větší, účinek střihu je větší.

Kulová čočka

S čočkou, jak je znázorněno na obrázku, a indexem lomu označeným jako n, výsledek je:^[5]

${ displaystyle U_ {0} (x, y) = e ^ {jkn Delta} e ^ {- j { frac {k} {2f}} [x ^ {2} + y ^ {2}]} U_ {i} (x, y)}$

s F ohnisková vzdálenost a Δ tloušťka čočky.

Zkreslení procházející objektivem je podobné jako u LCT, když

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 { frac {-1} { lambda f}} & 1 end {bmatrix}}. }$

Toto je také efekt střihu: když je ohnisková vzdálenost menší, efekt střihu je větší.

Sférické zrcadlo

Sférické zrcadlo - např. Satelitní anténu - lze popsat jako LCT, s

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 { frac {-1} { lambda R}} & 1 end {bmatrix}}. }$

To je velmi podobné objektivu, kromě toho, že ohnisková vzdálenost je nahrazena poloměrem paraboly. Proto je-li poloměr menší, účinek střihu je větší.

Společný volný prostor a sférická čočka

Vztah mezi vstupem a výstupem můžeme reprezentovat pomocí LCT

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & lambda z_ {2} 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 / lambda f end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & lambda z_ {1} 0 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1-z_ {2} / f & lambda (z_ {1} + z_ {2}) - lambda z_ {1} z_ {2} / f - 1 / lambda f & 1-z_ {1} / f end {bmatrix}}}$

(1) Pokud z1 = z2 = 2f, jedná se o obrácený skutečný obraz

(2) Pokud z1 = z2 = f, jedná se o Fourierovu transformaci + změnu měřítka

(3) je-li z1 = z2, jedná se o zlomkovou Fourierovu transformaci + změnu velikosti

Základní vlastnosti

V této části si ukážeme základní vlastnosti LCT

Operátor	Matice transformace
${ displaystyle L (T)}$	${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$
${ displaystyle L (T_ {1}) L (T_ {2})}$	${ displaystyle T_ {2} T_ {1}}$
${ displaystyle L ^ {- 1} (T) = L (T ^ {- 1})}$	${ displaystyle { begin {bmatrix} d ^ {t} & - b ^ {t} - c ^ {t} & a ^ {t} end {bmatrix}}}$
${ displaystyle L ({ widehat {T}}) = L ^ {*} (T ^ {- 1})}$	${ displaystyle { begin {bmatrix} d ^ {t} & b ^ {t} c ^ {t} & a ^ {t} end {bmatrix}}}$
${ displaystyle F}$	${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & I - I & 0 end {bmatrix}}}$
${ displaystyle { begin {cases} FL (T) F ^ {- 1} = L ^ {*} (T ^ {t-1}) F ^ {- 1} L (T) F = L ^ {*} (T ^ {t-1}) end {cases}}}$	${ displaystyle { begin {bmatrix} d & -c - b & a end {bmatrix}}}$

S dvourozměrným sloupcovým vektorem r definováno jako r =${ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}}}$, ukážeme některé základní vlastnosti (výsledek) pro konkrétní vstup níže

Vstup	Výstup	Poznámka
${ displaystyle f_ {i} (r)}$	${ displaystyle f_ {o} (r) = L (T) { displaystyle f_ {i} (r)}, , kde , T = { začátek {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} }$
${ displaystyle sum _ {n} a_ {n} f_ {n} (r)}$	${ displaystyle sum _ {n} a_ {n} Lf_ {n} (r)}$	Linearita
${ displaystyle f_ {i} (r), h_ {i} (r)}$	${ displaystyle int f_ {i} (r) h_ {i} ^ {*} (r) dr = int f_ {o} (r) h_ {o} ^ {*} (r) dr}$	parsevalova věta
${ displaystyle f_ {i} ^ {*} (r)}$	${ displaystyle [L (T ^ {- 1}) f_ {i} (r)] ^ {*} , kde , T ^ {- 1} = { begin {bmatrix} d ^ {t} & - b ^ {t} - c ^ {t} & a ^ {t} end {bmatrix}}}$	komplexní konjugát
${ displaystyle mathrm {M} ^ {n} f_ {i} (r)}$	${ displaystyle (d ^ {t} mathrm {M} -b ^ {t} D) ^ {n} f_ {o} (r) , , , , mathrm {M} = r}$	násobení
${ displaystyle D ^ {n} f_ {i} (r)}$	${ displaystyle (-c ^ {t} mathrm {M} -a ^ {t} D) ^ {n} f_ {o} (r) , , , , D = (i2 pi) ^ {-1} nabla ^ {t}}$	derivace
${ displaystyle f_ {i} (r) exp (j2 pi k ^ {t} r)}$	${ displaystyle f_ {o} (r-bk) exp (j2 pi k ^ {t} d ^ {t} r) exp (-i pi k ^ {t} b ^ {t} dk)}$	modulace
${ displaystyle f_ {i} (r-k)}$	${ displaystyle f_ {o} (r) exp (j2 pi k ^ {t} c ^ {t} r) exp (-i pi k ^ {t} c ^ {t} ak)}$	posun
${ displaystyle | detW | ^ {- 1/2} f_ {i} (W ^ {- 1} r)}$	${ displaystyle L ({ tilde {T}}) f_ {i} (r) , , kde , , { tilde {T}} = T { begin {bmatrix} W & 0 0 & W ^ { t-1} end {bmatrix}}}$	škálování
${ displaystyle f_ {i} (- r)}$	${ displaystyle L (-T) f_ {i} (r) = f_ {o} (- r)}$	škálování
1	${ displaystyle (det (A)) ^ {- 1/2} exp (i pi r ^ {t} CA ^ {- 1} r)}$
${ displaystyle exp (j pi r ^ {t} L_ {i} r)}$	${ displaystyle [det (A + iL_ {i})] ^ {- 1/2} exp (- pi r ^ {t} L_ {o} r), , kde , iL_ {o} = (C + iDL_ {i}) (A + iBL_ {i}) ^ {- 1}}$
${ displaystyle exp (j2 pi k ^ {t} r)}$	${ displaystyle (det (A)) ^ {- 1/2} exp (i pi r ^ {t} CA ^ {- 1} r) * exp (-i pi k ^ {t} A ^ {- 1} BK) exp (i2 pi k ^ {t} CA ^ {- 1} r)}$

Příklad

Uvažovaný systém je znázorněn na obrázku vpravo: dvě paraboly - jedna je vysílačem a druhá přijímačem - a signál mezi nimi se šíří na dálku DZa prvé, pro misku A (emitor) vypadá LCT matice takto:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 { frac {-1} { lambda R_ {A}}} & 1 end {bmatrix}}.}$

Pak se pro parabolu B (přijímač) matice LCT podobně stane:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 { frac {-1} { lambda R_ {B}}} a 1 end {bmatrix}}.}$

A konečně, pro šíření signálu ve vzduchu je LCT matice:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & lambda D 0 & 1 end {bmatrix}}.}$

Spojením všech tří komponent je LCT systému:

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 { frac {-1} { lambda R_ {B}}} & 1 end {bmatrix }} { begin {bmatrix} 1 & lambda D 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 { frac {-1} { lambda R_ {A}}} & 1 end { bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 - { frac {D} {R_ {A}}} & - lambda D { frac {1} { lambda}} (R_ {A} ^ { -1} + R_ {B} ^ {- 1} -R_ {A} ^ {- 1} R_ {B} ^ {- 1} D) & 1 - { frac {D} {R_ {B}}} konec {bmatrix}} ,.}$

Vztah s částicovou fyzikou

Ukázalo se, že je možné navázat vztah mezi některými vlastnostmi elementu Fermion v Standardní model z Fyzika částic a Reprezentace otáčení lineárních kanonických transformací. ^[6] V tomto přístupu je Elektrický náboj, Slabý přebití a Slabý isospin částice jsou vyjádřeny jako lineární kombinace některých operátorů definovaných z generátorů Cliffordova algebra spojené s rotační reprezentací lineárních kanonických transformací.

Viz také

• Distribuce Segal – Shale – Weil, metaplektická skupina operátorů souvisejících s chirpletovou transformací

Další časově-frekvenční transformace

• Frakční Fourierova transformace
• Kontinuální Fourierova transformace
• Chirpletova transformace

Aplikace

• Obnova fokusu na základě lineární kanonické transformace
• Analýza paprskové matice

Poznámky

Reference

• J.J. Healy, M.A. Kutay, H.M. Ozaktas a J.T. Sheridan, “Lineární kanonické transformace: teorie a aplikace", Springer, New York 2016.
• J.J. Ding, “Poznámka k kurzu časově-frekvenční analýzy a vlnkové transformace", Katedra elektrotechniky, Národní tchajwanská univerzita (NTU), Tchaj-pej, Tchaj-wan, 2007.
• K.B. Vlk, “Integrální transformace ve vědě a inženýrství ", Ch. 9 & 10, New York, Plenum Press, 1979.
• Collins, "Objektivový systémový difrakční integrál napsaný z hlediska maticové optiky," J. Opt. Soc. Amer. 60, 1168–1177 (1970).
• M. Moshinsky a C. Quesne, „Lineární kanonické transformace a jejich unitární reprezentace,“ J. Math. Phys. 12, 8, 1772–1783, (1971).
• B.M. Hennelly a J.T. Sheridan, „Rychlý numerický algoritmus pro lineární kanonickou transformaci“, J. Opt. Soc. Dopoledne. A 22, 5, 928–937 (2005).
• H.M. Ozaktas, A. Koç, I. Sari a M.A. Kutay, „Efektivní výpočet integrálů kvadratické fáze v optice“, Opt. Nechat. 31, 35–37, (2006).
• Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, „Nové vzorkovací vzorce související s lineární kanonickou transformací“, Zpracování signálu '87', 983–990, (2007).
• A. Koç, H.M. Ozaktas, C. Candan a M.A. Kutay, „Digitální výpočet lineárních kanonických transformací“, IEEE Trans. Proces signálu., sv. 56, č. 6, 2383–2394, (2008).
• Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, „O vzorkování signálů s omezeným pásmem spojených s lineární kanonickou transformací“, Transakce IEEE při zpracování signálu, sv. 56, č. 11, 5454–5464, (2008).
• D. Stoler, „Operátorské metody ve fyzikální optice“, 26. výroční technické sympozium. International Society for Optics and Photonics, 1982.
• Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Lineární kanonická transformace a její aplikace ", Peking, Science Press, 2013.
• Raoelina Andriambololona, ​​R. T. Ranaivoson, H.D.E Randriamisy, R. Hanitriarivo, „Disperzní operátoři Algebra a lineární kanonické transformace“,International Journal of Theoretical Physics, Svazek 56, číslo 4, str. 1258–1273, Springer, 2017
• R.T. Ranaivoson, Raoelina Andriambololona, ​​R. Hanitriarivo, R. Raboanary „Lineární kanonické transformace v relativistické kvantové fyzice“,arXiv: 1804.10053 [quant-ph], 2020.
• Tatiana Alieva., Martin J. Bastiaans. (2016) The Linear Canonical Transformations: Definition and Properties. In: Healy J., Alper Kutay M., Ozaktas H., Sheridan J. (eds) Linear Canonical Transforms. Springer Series in Optical Sciences, sv. 198. Springer, New York, NY