Funkce distribuce signatářů - Wigner distribution function

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Matematika uložená jako obrázky Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Listopad 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Analýza časově-frekvenční distribuce WDF (červená a žlutá) vs FIR banka (zelená).

The Funkce distribuce signatářů (WDF) se používá v zpracování signálu jako transformace časově-frekvenční analýza.

WDF byl poprvé navržen ve fyzice, aby zohlednil kvantové korekce klasické statistické mechaniky v roce 1932 Eugene Wigner, a to je důležité v kvantová mechanika ve fázovém prostoru (viz srovnání: Distribuce kvazi-pravděpodobnosti vládce, také nazývaný Funkce Wigner nebo Distribuce Wigner – Ville).

Vzhledem ke sdílené algebraické struktuře mezi polohovou hybností a časovou frekvencí sdružovat páry, také užitečně slouží při zpracování signálu, jako transformace v časově-frekvenční analýze, předmět tohoto článku. Ve srovnání s a krátkodobá Fourierova transformace, tak jako Gaborova transformace, Wignerova distribuční funkce poskytuje nejvyšší možné časové a frekvenční rozlišení, které je matematicky možné v mezích nejistoty v kvantové vlnové teorii.

Spektrogramy WDF se vizuálně výrazně liší od spektrogramů FFT. Spektrogramy WDF jsou na streamování zvuku ve srovnání s FFT příliš pomalé: výpočet trvá asi 50krát déle. WDF je lepší volba než FFT při studiu zvuku v jednom detailu, kde je vyžadován graf TF nejvyšší kvality, např. pro neuronovou síť; WDF je výpočetně příliš nákladný pro streamování zvuku, např. rozpoznávání řeči. Generování spektrálního programu WDF s přesností na vzorky (pásmo 1024) v reálném čase by vyžadovalo asi 16 jader moderního stolního počítače.

Matematická definice

Pro distribuční funkci Wigner existuje několik různých definic. Zde uvedená definice je specifická pro časově-frekvenční analýzu. Vzhledem k časové řadě ${displaystyle x [t]}$, jeho nestacionární autokorelace funkce je dána

${displaystyle C_ {x} (t_ {1}, t_ {2}) = leftlangle left (x [t_ {1}] - mu [t_ {1}] ight) left (x [t_ {2}] - mu [ t_ {2}] ight) ^ {*} ightangle,}$

kde ${displaystyle langle cdots angle}$ označuje průměr za všechny možné realizace procesu a ${displaystyle mu (t)}$ je průměr, který může nebo nemusí být funkcí času. Funkce Wigner ${displaystyle W_ {x} (t, f)}$ je pak dáno prvním vyjádřením autokorelační funkce z hlediska průměrného času ${displaystyle t = (t_ {1} + t_ {2}) / 2}$ a časové zpoždění ${displaystyle au = t_ {1} -t_ {2}}$a Fourierova transformace zpoždění.

${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} C_ {x} vlevo (t + {frac {au} {2}}, t- {frac {au} {2}} ight), e ^ {- 2pi i au f}, d au.}$

Takže pro jednu (průměr-nula) časovou řadu je funkce Wigner jednoduše dána vztahem

${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} xleft (t + {frac {au} {2}} ight), x ^ {*} vlevo (t- {frac {au } {2}} ight), e ^ {- 2pi i au f}, d au.}$

Motivací pro funkci Wigner je, že se redukuje na spektrální hustota funkce po celou dobu ${displaystyle t}$ pro stacionární procesy, přesto je plně ekvivalentní nestacionární autokorelační funkci. Funkce Wigner nám tedy (zhruba) říká, jak se mění spektrální hustota v čase.

Příklad časově-frekvenční analýzy

Zde je několik příkladů ilustrujících, jak se WDF používá při časově-frekvenční analýze.

Konstantní vstupní signál

Když je vstupní signál konstantní, jeho časově-frekvenční distribuce je vodorovná čára podél časové osy. Například pokud X(t) = 1, tedy

${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- i2pi au, f}, d au = delta (f).}$

Sinusový vstupní signál

Když je vstupním signálem sinusová funkce, je jeho časově-frekvenční distribuce vodorovná čára rovnoběžná s časovou osou, posunutou od něj frekvencí sinusového signálu. Například pokud X(t) = e ^i2πkt, pak

${displaystyle {egin {aligned} W_ {x} (t, f) & = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {i2pi kleft (t + {frac {au} {2}} ight)} e ^ { -i2pi kleft (t- {frac {au} {2}} ight)} e ^ {- i2pi au, f}, d au & = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- i2pi au left (f-kight)}, d au & = delta (fk) .end {zarovnáno}}}$

Cvrlikání vstupní signál

Když je vstupní signál lineární funkce chirp, okamžitá frekvence je lineární funkce. To znamená, že rozdělení časové frekvence by mělo být přímé. Například pokud

${displaystyle x (t) = e ^ {i2pi kt ^ {2}}}$ ,

pak je jeho okamžitá frekvence

${displaystyle {frac {1} {2pi}} {frac {d (2pi kt ^ {2})} {dt}} = 2kt ~,}$

a jeho WDF

${displaystyle {egin {aligned} W_ {x} (t, f) & = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {i2pi kleft (t + {frac {au} {2}} ight) ^ {2} } e ^ {- i2pi kleft (t- {frac {au} {2}} ight) ^ {2}} e ^ {- i2pi au, f}, d au & = int _ {- infty} ^ {infty } e ^ {i4pi kt au} e ^ {- i2pi au f}, d au & = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- i2pi au (f-2kt)}, d au & = delta (f-2kt) ~ .end {zarovnáno}}}$

Vstupní signál Delta

Když je vstupním signálem funkce delta, protože je nenulový pouze při t = 0 a obsahuje nekonečné frekvenční složky, mělo by být jeho časově-frekvenční rozložení svislou čarou napříč počátkem. To znamená, že časové rozdělení frekvence funkce delta by mělo být také funkcí delta. Vytvořil WDF

${displaystyle {egin {aligned} W_ {x} (t, f) & = int _ {- infty} ^ {infty} delta left (t + {frac {au} {2}} ight) delta left (t- {frac {au} {2}} ight) e ^ {- i2pi au, f}, d au & = 4int _ {- infty} ^ {infty} delta (2t + au) delta (2t- au) e ^ {- i2pi au f}, d au & = 4delta (4t) e ^ {i4pi tf} & = delta (t) e ^ {i4pi tf} & = delta (t) .end {zarovnáno}}}$

Funkce distribuce Wigner je nejvhodnější pro analýzu času a frekvence, když je fáze vstupního signálu 2. řádu nebo nižší. U těchto signálů může WDF přesně generovat distribuci časové frekvence vstupního signálu.

Funkce vagónu

${displaystyle x (t) = {egin {cases} 1 & | t | <1/2 0 & {ext {else}} end {cases}} qquad}$ ,

the obdélníková funkce   ⇒

${displaystyle W_ {x} (t, f) = {egin {cases} {frac {1} {pi f}} sin (2pi f {1-2 | t |}) & | t | <1/2 0 & {mbox {jinak}} konec {případů}}}$

Dlouhodobý majetek

Funkce distribuce Wigner není lineární transformace. Křížový termín („time beats“) nastává, když je ve vstupním signálu více než jedna složka, analogická v čase k frekvenční rytmy.^[1] Ve fyzice předků Distribuce kvazi-pravděpodobnosti vládce, tento termín má důležité a užitečné fyzikální důsledky, požadované pro věrné hodnoty očekávání. Naproti tomu krátkodobá Fourierova transformace tuto vlastnost nemá. Negativní vlastnosti WDF odrážejí Gaborův limit klasického signálu a fyzicky nesouvisí s jakýmkoli možným podkladem kvantové struktury.

Následuje několik příkladů, které vykazují průřezový rys distribuční funkce Wigner.

• ${displaystyle x (t) = {egin {cases} cos (2pi t) & tleq -2 cos (4pi t) & - 2 2end {cases}}}$
• ${displaystyle x (t) = e ^ {it ^ {3}}}$

Za účelem snížení průřezové obtížnosti bylo v literatuře navrženo několik přístupů,^[2][3][4] některé z nich vedou k novým transformacím jako upravená distribuční funkce Wigner, Gabor – Wignerova transformace, Choi-Williamsova distribuční funkce a Cohenova distribuce tříd.

Vlastnosti distribuční funkce Wigner

Funkce distribuce Wigner má několik evidentních vlastností uvedených v následující tabulce.

Vlastnost projekce

${displaystyle {egin {aligned} | x (t) | ^ {2} & = int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} (t, f), df | X (f) | ^ {2 } & = int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} (t, f), dtend {aligned}}}$

Energetická vlastnost

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} (t, f), df, dt = int _ {- infty} ^ {infty} | x (t ) | ^ {2}, dt = int _ {- infty} ^ {infty} | X (f) | ^ {2}, df}$

Obnova majetku

${displaystyle {egin {aligned} int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} left ({frac {t} {2}}, fight) e ^ {i2pi ft}, df & = x (t) x ^ {*} (0) int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} vlevo (t, {frac {f} {2}} vpravo) e ^ {i2pi ft}, dt & = X (f) X ^ {*} (0) konec {zarovnáno}}}$

Střední frekvence podmínek a střední doba stavu

${displaystyle {egin {zarovnáno} X (f) & = | X (f) | e ^ {i2pi psi (f)}, čtyřkolka x (t) = | x (t) | e ^ {i2pi phi (t)} , {ext {if}} phi '(t) & = | x (t) | ^ {- 2} int _ {- infty} ^ {infty} fW_ {x} (t, f), df {ext {and}} - psi '(f) & = | X (f) | ^ {- 2} int _ {- infty} ^ {infty} tW_ {x} (t, f), dtend {aligned}}}$

Vlastnosti momentu

${displaystyle {egin {aligned} int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} t ^ {n} W_ {x} (t, f), dt, df & = int _ {- infty} ^ {infty} t ^ {n} | x (t) | ^ {2}, dt int _ {- infty} ^ {infty} int _ {- infty} ^ {infty} f ^ {n} W_ {x} (t, f), dt, df & = int _ {- infty} ^ {infty} f ^ {n} | X (f) | ^ {2}, dfend {zarovnáno}}}$

Skutečné vlastnosti

${displaystyle W_ {x} ^ {*} (t, f) = W_ {x} (t, f)}$

Vlastnosti regionu

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} x (t) & = 0 {ext {for}} t> t_ {0} {ext {then}} W_ {x} (t, f) = 0 { ext {for}} t> t_ {0} {ext {If}} x (t) & = 0 {ext {for}} t$

Věta o násobení

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} y (t) & = x (t) h (t) {ext {then}} W_ {y} (t, f) & = int _ {- infty } ^ {infty} W_ {x} (t, ho) W_ {h} (t, f-ho), konec dho {zarovnáno}}}$

Konvoluční věta

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} y (t) & = int _ {- infty} ^ {infty} x (t- au) h (au), d au {ext {then}} W_ {y} (t, f) & = int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} (ho, f) W_ {h} (t-ho, f), dho end {aligned}}}$

Věta o korelaci

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} y (t) & = int _ {- infty} ^ {infty} x (t + au) h ^ {*} (au), d au {ext {then} } W_ {y} (t, omega) & = int _ {- infty} ^ {infty} W_ {x} (ho, omega) W_ {h} (- t + ho, omega), dho end {zarovnáno} }}$

Kovariance s časovým posunem

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} y (t) & = x (t-t_ {0}) {ext {then}} W_ {y} (t, f) & = W_ {x} (t-t_ {0}, f) end {aligned}}}$

Modulační kovariance

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} y (t) & = e ^ {i2pi f_ {0} t} x (t) {ext {then}} W_ {y} (t, f) & = W_ {x} (t, f-f_ {0}) end {aligned}}}$

Měřítko kovariance

${displaystyle {egin {aligned} {ext {If}} y (t) & = {sqrt {a}} x (at) {ext {pro některé}} a> 0 {ext {then}} {ext {then }} W_ {y} (t, f) & = W_ {x} (na, {frac {f} {a}}) konec {zarovnáno}}}$

Funkce distribuce okenního průvodce

Pokud signál není časově omezen, je obtížné implementovat jeho funkci distribuce Wigner. Přidáme tedy do její integrační části novou funkci (masku), takže namísto integrace celé cesty od negativního nekonečna do pozitivního nekonečna musíme implementovat pouze část původní funkce. Původní funkce: ${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} xleft (t + {frac {au} {2}} ight) cdot x ^ {*} vlevo (t- {frac {au } {2}} ight) e ^ {- j2pi au f} cdot d au}$ Funkce s maskou: ${displaystyle W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} w (au) xleft (t + {frac {au} {2}} ight) cdot x ^ {*} vlevo (t- {frac {au} {2}} ight) e ^ {- j2pi au f} cdot d au}$ ${displaystyle w (au)}$ je reálné a časově omezené

Implementace

Podle definice:

${displaystyle {egin {aligned} W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} w (au) xleft (t + {frac {au} {2}} ight) cdot x ^ {* } left (t- {frac {au} {2}} ight) e ^ {- j2pi au f} cdot d au W_ {x} (t, f) = 2int _ {- infty} ^ {infty} w ( 2 au ') xleft (t + au' ight) cdot x ^ {*} vlevo (t- au 'ight) e ^ {- j4pi au' f} cdot d au ' W_ {x} (nDelta _ {t}, mDelta _ {f}) = 2sum _ {p = -infty} ^ {infty} w (2pDelta _ {t}) x ((n + p) Delta _ {t}) x ^ {ast} ((np) Delta _ {t}) e ^ {- j4pi mpDelta _ {t} Delta _ {f}} Delta _ {t} konec {zarovnáno}}}$

Předpokládejme to ${displaystyle w (t) = 0}$ pro ${displaystyle | t |> Bightarrow w (2pDelta _ {t}) = 0}$ pro ${displaystyle p <-Q}$ a ${displaystyle p> Q}$

${displaystyle {egin {aligned} W_ {x} (nDelta _ {t}, mDelta _ {f}) = 2sum _ {p = -Q} ^ {Q} w (2pDelta _ {t}) x ((n + p) Delta _ {t}) x ^ {ast} ((np) Delta _ {t}) e ^ {- j4pi mpDelta _ {t} Delta _ {f}} Delta _ {t} konec {zarovnáno}}}$

Bereme ${displaystyle x (t) = delta (t-t_ {1}) + delta (t-t_ {2})}$ jako příklad

${displaystyle {egin {aligned} W_ {x} (t, f) = int _ {- infty} ^ {infty} w (au) xleft (t + {frac {au} {2}} ight) cdot x ^ {* } vlevo (t- {frac {au} {2}} vpravo) e ^ {- j2pi au f} cdot d au ,, konec {zarovnáno}}}$

kde ${displaystyle w (au)}$ je skutečná funkce

A pak porovnáme rozdíl mezi dvěma podmínkami.

3 Podmínky

Potom vezmeme v úvahu podmínku s funkcí masky:

To vidíme mít hodnotu pouze mezi –B až B, tedy vedení s může odstranit křížový termín funkce. Pokud však x (t) není funkcí Delta ani funkcí úzké frekvence, je to funkce se širokou frekvencí nebo zvlněním. Okraj signálu může stále existovat mezi –B a B, což stále způsobuje křížový problém.

například:

Viz také

• Reprezentace čas-frekvence
• Krátkodobá Fourierova transformace
• Spektrogram
• Gaborova transformace
• Autokorelace
• Gabor – Wignerova transformace
• Upravená distribuční funkce Wigner
• Věta o optické ekvivalenci
• Polynomiální distribuce Wigner – Ville
• Cohenova distribuční funkce třídy
• Distribuce kvazi-pravděpodobnosti vládce
• Transformace mezi distribucemi v časově-frekvenční analýze
• Bilineární rozdělení času a frekvence

Reference

Další čtení

• Wigner, E. (1932). „O kvantové korekci pro termodynamickou rovnováhu“ (PDF). Fyzický přehled. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv ... 40..749W. doi:10.1103 / PhysRev.40.749. hdl:10338.dmlcz / 141466.
• J. Ville, 1948. „Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique“, Câbles et Transmission, 2, 61–74 .
• T. A. C. M. Classen a W. F. G. Mecklenbrauker, 1980. „Wignerova distribuce - nástroj pro analýzu časově-frekvenčních signálů; Část I, “Philips J. Res., Sv. 35, s. 217–250.
• L. Cohen (1989): Sborník IEEE 77 941–981, Časově-frekvenční distribuce --- recenze
• L. Cohen, Časově-frekvenční analýza, Prentice-Hall, New York, 1995. ISBN  978-0135945322
• S. Qian a D. Chen, Společná časově-frekvenční analýza: metody a aplikace, Kap. 5, Prentice Hall, NJ, 1996.
• B. Boashash, „Poznámka k použití distribuce signatářů pro analýzu časově-frekvenčních signálů“, Transakce IEEE týkající se akustiky, řeči a zpracování signálu, Sv. 36, Č. 9, str. 1518–1521, září 1988. doi:10.1109/29.90380. B. Boashash, redaktor,Analýza a zpracování časově-frekvenčních signálů - komplexní reference, Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN  0-08-044335-4.
• F. Hlawatsch, G. F. Boudreaux-Bartels: „Lineární a kvadratická časově-frekvenční reprezentace signálu,“ IEEE Signal Processing Magazine, s. 21–67, duben 1992.
• R. L. Allen a D. W. Mills, Analýza signálu: čas, frekvence, měřítko a struktura„Wiley- Interscience, NJ, 2004.
• R.B. Pachori a A. Nishad, Snížení křížových podmínek v distribuci Wigner-Ville pomocí laditelné-Q vlnkové transformace, Zpracování signálu, sv. 120, s. 288–304, 2016.
• Jian-Jiun Ding, analýza časové frekvence a poznámky k vlnkové transformaci, Katedra elektrotechniky, Taiwanská národní univerzita (NTU), Tchaj-pej, Tchaj-wan, 2015
• Kakofengitis, D., & Steuernagel, O. (2017). „Wignerův kvantový fázový prostorový proud ve slabě anharmonických slabě vzrušených dvoustavových systémech“ European Physical Journal Plus 14.07.2017
• R.R. Sharma a R.B. Pachori, Vylepšený přístup založený na rozkladu vlastních čísel pro snížení křížových výrazů v distribuci Wigner-Ville, Obvody, systémy a zpracování signálu, 2018.