Analýza paprskové matice - Ray transfer matrix analysis
Analýza paprskové matice (také známý jako ABCD maticová analýza) je matematická forma pro provedení sledování paprsku výpočty v dostatečně jednoduchých úlohách, které lze vyřešit pouze s ohledem na paraxiální paprsky. Každý optický prvek (povrch, rozhraní, zrcadlo nebo dráha paprsku) je popsán vztahem 2 × 2 přenos paprsků matice který pracuje na a vektor popisující příchozí světelný paprsek vypočítat odchozí paprsek. Násobení po sobě jdoucích matic tak poskytuje stručnou matici přenosu paprsků popisující celý optický systém. Stejná matematika se také používá v fyzika akcelerátoru sledovat částice magnetickými instalacemi a urychlovač částic viz elektronová optika.
Tato technika, jak je popsána níže, je odvozena pomocí metody paraxiální aproximace, což vyžaduje, aby všechny směry paprsků (směry normální k vlnovým frontám) byly v malých úhlech θ vzhledem k optická osa systému, takže aproximace zůstává v platnosti. Malé θ dále naznačuje, že příčný rozsah svazků paprsků (X a y) je malý ve srovnání s délkou optického systému (tedy „paraxiální“). Vzhledem k tomu, slušný zobrazovací systém, kde to je ne případ pro všechny paprsky musí stále správně zaostřit paraxiální paprsky, tato maticová metoda bude správně popisovat polohy ohniskových rovin a zvětšení, nicméně aberace stále je třeba hodnotit pomocí full sledování paprsků techniky.[1]
Definice matice přenosu paprsků
Technika sledování paprsků je založena na dvou referenčních rovinách nazývaných vstup a výstup roviny, každá kolmá k optické ose systému. V kterémkoli bodě podél optické řady je definována optická osa odpovídající centrálnímu paprsku; ten centrální paprsek se šíří, aby definoval optickou osu dále v optickém sledu, který nemusí být ve stejném fyzickém směru (například když je ohnutý hranolem nebo zrcadlem). Příčné směry X a y (níže uvažujeme pouze X směr) jsou pak definovány jako kolmé k použitým optickým osám. Světelný paprsek vstupuje do součásti protínající její vstupní rovinu na dálku X1 od optické osy, pohybující se ve směru, který svírá úhel θ1 s optickou osou. Po šíření do výstupní roviny se paprsek nachází ve vzdálenosti X2 od optické osy a pod úhlem θ2 s ohledem na to. n1 a n2 jsou indexy lomu média ve vstupní a výstupní rovině.
Matice ABCD představující komponentu nebo systém spojuje výstupní paprsek se vstupem podle
kde jsou hodnoty 4 maticových prvků dány vztahem
a
To souvisí s paprskové vektory ve vstupní a výstupní rovině pomocí matice přenosu paprsků (RTM) M, což představuje optickou součást nebo systém přítomný mezi dvěma referenčními rovinami. A termodynamika argument založený na černé tělo záření lze použít k prokázání, že určující RTM je poměr indexů lomu:
Výsledkem je, že pokud jsou vstupní a výstupní roviny umístěny na stejném médiu nebo na dvou různých médiích, která mají shodné indexy lomu, pak determinant M je prostě rovno 1.
Jiná konvence[2] pro paprskové vektory lze použít. Místo použití θ≈sin θ je druhým prvkem vektoru paprsku n sin θ, který není úměrný úhlu paprsku per se ale k příčné složce vlnový vektor Tím se mění matice ABCD uvedené v následující tabulce, kde se jedná o lom na rozhraní.
Použití přenosových matic tímto způsobem se vyrovná maticím 2 × 2 popisujícím elektroniku dvouportové sítě, zejména různé takzvané matice ABCD, které lze podobně znásobit pro řešení pro kaskádové systémy.
Nějaké příklady
- Například pokud je mezi dvěma rovinami volný prostor, je matice přenosu paprsků dána vztahem:
- ,
kde d je separační vzdálenost (měřená podél optické osy) mezi dvěma referenčními rovinami. Rovnice přenosu paprsků se tak stává:
- ,
a to souvisí s parametry obou paprsků jako:
- Dalším jednoduchým příkladem je příklad a tenký objektiv. Jeho RTM je dáno:
- ,
kde F je ohnisková vzdálenost objektivu. K popisu kombinací optických komponent lze matice přenosu paprsků vynásobit společně, aby se získal celkový RTM pro složený optický systém. Příklad volného prostoru délky d následovaný objektivem s ohniskovou vzdáleností F:
- .
Všimněte si, že jelikož násobení matic neníkomutativní, toto není stejný RTM jako pro objektiv následovaný volným prostorem:
- .
Matice tedy musí být řádně uspořádány, přičemž poslední matice předmnožuje druhou poslední a tak dále, dokud není první matice předvedena druhou. Mohou být zkonstruovány další matice, které představují rozhraní s různými médii indexy lomu, odraz od zrcadla, atd.
Tabulka matric přenosu paprsků
pro jednoduché optické komponenty
Živel | Matice | Poznámky |
---|---|---|
Šíření ve volném prostoru nebo v médiu s konstantním indexem lomu | d = vzdálenost | |
Lom na plochém rozhraní | n1 = počáteční index lomu n2 = konečný index lomu. | |
Lom na zakřiveném rozhraní | R = poloměr zakřivení, R > 0 pro konvexní (střed zakřivení po rozhraní) n1 = počáteční index lomu | |
Odraz od plochého zrcadla | Platí pouze pro stacionární zrcadla kolmá na optickou osu. | |
Odraz od zakřiveného zrcadla | efektivní poloměr zakřivení v tangenciální rovině (vodorovný směr) efektivní poloměr zakřivení v sagitální rovině (svislý směr) | |
Tenký objektiv | F = ohnisková vzdálenost objektivu kde F > 0 pro konvexní / pozitivní (konvergující) čočku. Platí, pouze pokud je ohnisková vzdálenost mnohem větší než tloušťka objektivu. | |
Silný objektiv | n1 = index lomu mimo čočku. n2 = index lomu samotné čočky (uvnitř čočky). | |
Jediný hranol | k = (cos/ cos) je expanze paprsku faktor, kde je úhel dopadu, je úhel lomu, d = délka dráhy hranolu, n = index lomu materiálu hranolu. Tato matice platí pro výstup ortogonálního paprsku.[3] | |
Vícenásobný hranolový paprskový expandér r hranoly | M je celkové zvětšení paprsku dané , kde k je definován v předchozím záznamu a B je celková vzdálenost optického šíření[je zapotřebí objasnění ] expandéru s více hranoly.[3] |
Stabilita rezonátoru
Analýza RTM je zvláště užitečná při modelování chování světla optické rezonátory, jaké se používají například u laserů. Nejjednodušší je, že optický rezonátor se skládá ze dvou identických čelních zrcadel o 100% odrazivost a poloměr zakřivení R, oddělené určitou vzdáleností d. Pro účely sledování paprsku je to ekvivalentní řadě identických tenkých čoček s ohniskovou vzdáleností F=R/ 2, každý od sebe oddělen od délky d. Tato konstrukce je známá jako ekvivalentní kanál objektivu nebo ekvivalent objektivu vlnovod. RTM každé části vlnovodu je, jak je uvedeno výše,
- .
RTM analýzu lze nyní použít ke stanovení stabilita vlnovodu (a ekvivalentně rezonátoru). To znamená, že lze určit, za jakých podmínek bude světlo putující vlnovodem periodicky znovu zaostřováno a zůstat ve vlnovodu. Abychom to mohli udělat, můžeme najít všechny „vlastní čísla“ systému: vstupní paprskový vektor v každé ze zmíněných částí vlnovodných časů, skutečný nebo komplexní faktor λ, se rovná výstupnímu. To dává:
- .
což je vlastní číslo rovnice:
- ,
kde Já je 2x2 matice identity.
Pokračujeme k výpočtu vlastních čísel přenosové matice:
- ,
vedoucí k charakteristická rovnice
- ,
kde
je stopa RTM a
je určující RTM. Po jedné běžné substituci máme:
- ,
kde
je parametr stability. Vlastní čísla jsou řešením charakteristické rovnice. Z kvadratický vzorec shledáváme
Nyní zvažte paprsek N prochází systémem:
- .
Pokud je vlnovod stabilní, neměl by se žádný paprsek odklonit libovolně daleko od hlavní osy, tj. ΛN nesmí růst bez omezení. Předpokládat . Pak jsou obě vlastní čísla skutečná. Od té doby , jeden z nich musí být větší než 1 (v absolutní hodnotě), což znamená, že paprsek, který odpovídá tomuto vlastnímu vektoru, by se nespojoval. Proto ve stabilním vlnovodu ≤ 1 a vlastní čísla mohou být reprezentována komplexními čísly:
- ,
se substitucí g = cos (ϕ).
Pro nechat a být vlastními vektory s ohledem na vlastní hodnoty a respektive, které pokrývají celý vektorový prostor, protože jsou ortogonální, druhý kvůli ≠ . Vstupní vektor lze tedy zapsat jako
- ,
pro některé konstanty a .
Po N vlnovodové sektory, čte výstup
- ,
což představuje periodickou funkci.
Matice přenosu paprsků pro Gaussovy paprsky
Stejné matice lze také použít k výpočtu vývoje Gaussovy paprsky.[4] šířící se optickými komponentami popsanými stejnými přenosovými maticemi. Pokud máme Gaussův paprsek vlnové délky , poloměr zakřivení R (pozitivní pro rozbíhající se, negativní pro konvergující), velikost paprskové skvrny w a index lomu n, je možné definovat a komplexní parametr paprsku q podle:[5]
- .
(R, w, a q jsou funkce polohy.) Pokud je osa paprsku v z směr, s pasem v a Dosah Rayleigh , toto lze ekvivalentně napsat jako[5]
- .
Tento paprsek lze šířit optickým systémem s danou maticí přenosu paprsků pomocí rovnice[je třeba další vysvětlení ]:
- ,
kde k je normalizační konstanta zvolená k udržení druhé složky vektoru paprsků rovné 1. Použití násobení matic, tato rovnice se rozšiřuje jako
a
Dělení první rovnice druhou vylučuje normalizační konstantu:
- ,
Často je vhodné vyjádřit tuto poslední rovnici v reciproční formě:
Příklad: Volné místo
Zvažte paprsek, který cestuje na dálku d přes volný prostor je matice přenosu paprsků
- .
a tak
v souladu s výše uvedeným výrazem pro běžné šíření Gaussova paprsku, tj. . Jak se paprsek šíří, mění se poloměr i pas.
Příklad: Tenký objektiv
Zvažte paprsek procházející tenkou čočkou s ohniskovou vzdáleností F. Matice přenosu paprsků je
- .
a tak
- .
Pouze skutečná část 1 /q je ovlivněno: zakřivení vlnoplochy 1 /R je snížena o Napájení objektivu 1 /F, zatímco velikost bočního paprsku w zůstává při výstupu z tenké čočky beze změny.
Matice s vyšší hodností
V optické analýze se také používají metody využívající přenosové matice vyšší rozměrnosti, tj. 3X3, 4X4 a 6X6.[6][7][8] Zejména matice šíření 4X4 se používají při návrhu a analýze hranolových sekvencí pro pulzní komprese v femtosekundové lasery.[3]
Viz také
Reference
- ^ Zahrnuto je rozšíření maticových metod na sledování (neparaxiálních) meridionálních paprsků tady.
- ^ Gerrard, Anthony; Burch, James M. (1994). Úvod do maticových metod v optice. Courier Dover. ISBN 9780486680446.
- ^ A b C F. J. Duarte (2003). Nastavitelná laserová optika. New York: Elsevier-Academic. Kapitola 6.
- ^ Rashidian vaziri, M R (2013). "Nový model vedení pro analýzu šíření Gaussova svazku v nelineárních médiích Kerr a jeho aplikace na prostorové samofázové modulace". Journal of Optics. 15 (3): 035202. Bibcode:2013JOpt ... 15c5202R. doi:10.1088/2040-8978/15/3/035202.
- ^ A b C. Tim Lei. „Webová stránka Fyzika 4510 Optika“. zvláště Kapitola 5
- ^ W. Brouwer, Maticové metody v konstrukci optických přístrojů (Benjamin, New York, 1964).
- ^ A. E. Siegman, Lasery (University Science Books, Mill Valley, 1986).
- ^ H. Wollnik, Optika nabitých částic (Academic, New York, 1987).
Další čtení
- Bahaa E. A. Saleh a Malvin Carl Teich (1991). Základy fotoniky. New York: John Wiley & Sons. Oddíl 1.4, s. 26 - 36.
externí odkazy
- Silné čočky (maticové metody)
- Výukový program pro matice ABCD Poskytuje příklad systémové matice celého systému.
- Kalkulačka ABCD Interaktivní kalkulačka, která pomáhá řešit matice ABCD.
- Simple Optical Designer (Android App) Aplikace pro zkoumání optických systémů pomocí metody matice ABCD.