Homotopy Lie algebra - Homotopy Lie algebra
v matematika, zejména abstraktní algebra a topologie, a homotopie Lie algebra (nebo -algebra) je zobecněním pojmu a diferenciálně odstupňovaná Lieova algebra. Abych byl trochu konkrétnější, Jacobi identita drží pouze homotopii. Proto může být diferencovaná Lieova algebra považována za homotopickou Lieovu algebru, kde Jacobiho identita drží na nose. Tyto homotopy algebry jsou užitečné při klasifikaci problémů s deformací nad charakteristikou 0 v teorie deformace protože deformační funktory jsou klasifikovány třídami kvazi-izomorfismu -algebry.[1] Toto později rozšířil na všechny charakteristiky Jonathan Pridham.[2]
Homotopy Lieovy algebry mají aplikace v matematice a matematická fyzika; jsou spojeny například s Batalin – Vilkovisky formalismus podobně jako diferenciálně odstupňované Lieovy algebry.
Definice
Existuje několik různých definic homotopické Lieovy algebry, některé se zvláště hodí pro určité situace více než jiné. Nejtradičnější definice je prostřednictvím symetrických vícelineárních map, ale existuje také stručnější geometrická definice používající jazyk formální geometrie. Zde se vytvoří plošný předpoklad, že podkladové pole má charakteristickou nulu.
Geometrická definice
A homotopie Lie algebra na odstupňovaný vektorový prostor je spojitá derivace, objednávky že na formálním potrubí druhé mocniny k nule . Tady je vyplněná symetrická algebra, je pozastavení odstupňovaného vektorového prostoru a označuje lineární duální. Typicky jeden popisuje jako homotopie Lie algebra a s diferenciálem jako reprezentující komutativní diferenciálně odstupňovanou algebru.
Pomocí této definice homotopické Lieovy algebry lze definovat morfismus homotopické Lieovy algebry, jako morfismus jejich reprezentujících komutativních diferenciálně odstupňovaných algeber, které dojíždějí s vektorovým polem, tj. . Homotopy Lieovy algebry a jejich morfismy definují a kategorie.
Definice pomocí vícelineárních map
Tradičnější definice homotopické Lieovy algebry je prostřednictvím nekonečné sbírky symetrických vícelineárních map, která se někdy označuje jako definice přes vyšší závorky. Je třeba uvést, že obě definice jsou rovnocenné.
A homotopie Lie algebra[3] na odstupňovaný vektorový prostor je sbírka symetrických vícelineárních map stupně , někdy nazývané - každý držák . Navíc mapy uspokojit zobecněnou Jacobi identitu:
pro každé n. Zde vnitřní část přejde -unshuffles a je podpis permutace. Výše uvedený vzorec má smysluplné interpretace pro nízké hodnoty ; například když to říká čtverce na nulu (tj. je to zapnutý diferenciál) ), když to říká je odvození , a kdy to říká uspokojuje Jacobi identitu až do přesného termínu (tj. vydrží až homotopii). Všimněte si, že když jsou vyšší závorky pro zmizet, definice a diferenciálně odstupňovaná Lieova algebra na je obnoven.
Použitím přístupu prostřednictvím vícelineárních map lze morfismus homotopy Lieových algeber definovat sbírkou symetrických vícelineárních map které splňují určité podmínky.
Definice pomocí operadů
Existuje také abstraktnější definice homotopické algebry pomocí teorie operády: to znamená, že homotopie Lie algebra je algebra nad operadem v kategorii řetězových komplexů nad operad.
(Kvazi) izomorfismy a minimální modely
Morfismus homotopie Lie algebry se říká, že je (kvazi) izomorfismus, pokud je jeho lineární složkou je (kvazi) izomorfismus, kde jsou diferenciály a jsou jen lineární komponenty a .
Důležitou speciální třídou homotopie Lieových algeber jsou tzv minimální homotopy Lieovy algebry, které se vyznačují mizením jejich lineární složky . To znamená, že jakýkoli kvazi izomorfismus minimální homotopie Lieových algeber musí být izomorfismem. Jakákoli homotopie Lieova algebra je kvazi-izomorfní až minimální, která musí být až do izomorfismu jedinečná, a proto se jí říká minimální model.
Příklady
Protože -algebry mají tak složitou strukturu popisující, že i jednoduché případy mohou být ve většině případů netriviální úkol. Naštěstí existují jednoduché případy pocházející z diferenciálně odstupňovaných Lieových algeber a případy pocházející z konečných dimenzionálních příkladů.
Diferenciálně odstupňované Lieovy algebry
Jedna z přístupných tříd příkladů -algebry pocházejí z vložení diferenciálně odstupňovaných Lieových algeber do kategorie -algebry. To lze popsat dávat odvození, strukturu Lieovy algebry a pro ostatní mapy.
Dva termíny L∞ algebry
Ve stupních 0 a 1
Jedna pozoruhodná třída příkladů je -algebry, které mají pouze dva nenulové podkladové vektorové prostory . Poté definujte definici pro -algebry to znamená, že existuje lineární mapa
- ,
bilineární mapy
- , kde ,
a trilineární mapa
které uspokojí celou řadu identit.[4] str Zejména mapa na znamená, že má strukturu algebry lži až po homotopii. To je dáno rozdílem protože dává -algebraová struktura naznačuje
- ,
což ukazuje, že je to vyšší lež. Někteří autoři ve skutečnosti píšou mapy tak jako , takže předchozí rovnici lze číst jako
zobrazení rozdílu 3-závorky dává selhání, aby 2-závorka byla strukturou algebry Lie. Je to jen algbebra lži až po homotopii. Pokud bychom vzali komplex pak má strukturu Lieovy algebry z indukované mapy .
Ve stupních 0 a n
V tomto případě pro , neexistuje žádný rozdíl, takže je Lieova algebra na nose, ale existují další data vektorového prostoru v míře a vyšší držák
Ukázalo se, že tato vyšší skupina je ve skutečnosti vyšší cocyle Cohomologie lže algebry. Přesněji řečeno, pokud přepíšeme jako algebra lži a a reprezentace Lieovy algebry (dané strukturní mapou ), pak je tu bijekce čtyřnásobků
kde je -kocykl
a dva termíny -algebry s nenulovými vektorovými prostory ve stupních a [4]str. 42. Tato situace je velmi analogická vztahu mezi skupinová kohomologie a struktura n-skupiny se dvěma netriviálními homotopy skupinami. Pro případ výrazu termín -algebry ve stupních a existuje podobný vztah mezicykly lži a algebry a takovými vyššími závorkami. Při první kontrole nejde o zjevné výsledky, ale po prohlédnutí komplexu homologie je to jasné
takže diferenciál se stává triviálním. To dává ekvivalent -algebra, kterou lze poté analyzovat jako dříve.
Příklad ve stupních 0 a 1
Jeden jednoduchý příklad algebry Lie-2 je uveden pomocí -algebra s kde je křížovým produktem vektorů a je triviální reprezentace. Pak existuje vyšší držák daný bodovým součinem vektorů
Může být zkontrolován rozdíl tohoto -algebra je vždy nulová pomocí základní lineární algebry[4]str. 45.
Konečný rozměrný příklad
Přicházíme s jednoduchými příklady kvůli studiu povahy -algebry jsou složitý problém. Například,[5] dostal odstupňovaný vektorový prostor kde má základ daný vektorem a má základ daný vektory , tady je -algebraová struktura daná následujícími pravidly
kde . Všimněte si, že prvních několik konstant je
Od té doby by měl být stupně , axiomy to naznačují . Existují i další podobné příklady pro super[6] Lež algebry.[7] Dále struktury na odstupňovaných vektorových prostorech, jejichž podkladový vektorový prostor je dvourozměrný, byly zcela klasifikovány.[3]
Viz také
- Homotopy asociativní algebra
- Diferenciálně odstupňovaná algebra
- BV formalismus
- Zjednodušená algebra lži
Reference
- ^ Lurie, Jacobe. „Odvozená algebraická geometrie X: Problémy s formálními moduly“ (PDF). str. 31, Věta 2.0.2.
- ^ Pridham, Jonathan Paul (2012). „Odvozené deformace schémat“. Komunikace v analýze a geometrii. 20 (3): 529–563. arXiv:0908.1963. doi:10.4310 / CAG.2012.v20.n3.a4. PAN 2974205.
- ^ A b Denně, Marilyn Elizabeth (2004-04-14). Struktury na prostorech nízké dimenze (PhD). hdl:1840.16/5282.
- ^ A b C Baez, John C.; Crans, Alissa S. (2010-01-24). „High-Dimensional Algebra VI: Lie 2-Algebras“. Teorie a aplikace kategorií. 12: 492–528. arXiv:matematika / 0307263.
- ^ Denně, Marilyn; Lada, Tom (2005). „Konečná dimenzionální příklad algebry v teorii měřidla ". Homologie, homotopie a aplikace. 7 (2): 87–93. doi:10.4310 / HHA.2005.v7.n2.a4.
- ^ Fialowski, Alice; Penkava, Michael (2002). „Příklady nekonečných a Lieových algeber a jejich verzálních deformací“. Publikace Banach Center. 55: 27–42. arXiv:matematika / 0102140. doi:10,4064 / bc55-0-2. PAN 1911978. S2CID 14082754.
- ^ Fialowski, Alice; Penkava, Michael (2005). „Silně homotopuj Lieovy algebry jedné sudé a dvou lichých dimenzí“. Journal of Algebra. 283 (1): 125–148. arXiv:matematika / 0308016. doi:10.1016 / j.jalgebra.2004.08.023. PAN 2102075. S2CID 119142148.
Úvod
- Lada, Tom; Stasheff, Jim (1993). "Úvod do sh Lieových algeber pro fyziky". International Journal of Theoretical Physics. 32 (7): 1087–1104. arXiv:hep-th / 9209099. Bibcode:1993IJTP ... 32.1087L. doi:10.1007 / BF00671791. S2CID 16456088.
Ve fyzice
- Arvanitakis, Alex S. (2019). „L∞-algebra S-matice“. arXiv:1903.05643 [hep-th ].
- Hohm, Olaf; Zwiebach, Barton (2017). „Al∞ Algebry a teorie pole“. Fortsch. Fyz. 65 (3–4): 1700014. arXiv:1701.08824. Bibcode:2017ForPh..6500014H. doi:10.1002 / prop.201700014. S2CID 90628041. - Směrem ke klasifikaci invariantních klasických polí poruchového rozchodu.
V deformaci a teorii strun
- Pridham, Jonathan P. (2015). "Odvozené deformace Artinových komínů". Komunikace v analýze a geometrii. 23 (3): 419–477. arXiv:0805.3130. doi:10.4310 / CAG.2015.v23.n3.a1. PAN 3310522. S2CID 14505074.
- Pridham, Jonathan P. (2010). "Sjednocení odvozených teorií deformace". Pokroky v matematice. 224 (3): 772–826. arXiv:0705.0344. doi:10.1016 / j.aim.2009.12.009. PAN 2628795. S2CID 14136532.
- Hu, Po; Kriz, Igor; Voronov, Alexander A. (2006). "O Kontsevichově Hochschildově domněnce o domněnce". Compositio Mathematica. 142 (1): 143–168. arXiv:matematika / 0309369. doi:10.1112 / S0010437X05001521. PAN 2197407. S2CID 15153116.
externí odkazy
- „Výukový seminář o teorii deformací“. Max Planck Institute for Mathematics. 2018. Diskutuje o teorii deformace v kontextu -algebry.