Zwanzig operátor projekce[1] je matematické zařízení používané v statistická mechanika. Pracuje v lineárním prostoru fázový prostor funkce a projekty na lineární podprostor „pomalých“ funkcí fázového prostoru. To bylo představeno Robert Zwanzig odvodit generikum hlavní rovnice. Většinou se používá v tomto nebo podobném kontextu formálním způsobem k odvození pohybových rovnic pro některé „pomalé“ kolektivní proměnné.[2]
Pomalé proměnné a skalární součin
Operátor projekce Zwanzig pracuje na funkcích v
-dimenzionální fázový prostor
z
bodové částice se souřadnicemi
a moment
. Zvláštní podmnožinou těchto funkcí je vyčíslitelná sada „pomalých proměnných“
. Kandidáty na některé z těchto proměnných mohou být Fourierovy komponenty s dlouhou vlnovou délkou
hmotnostní hustoty a Fourierových složek s dlouhou vlnovou délkou
hustoty hybnosti s vlnovým vektorem
identifikován s
. Operátor projekce Zwanzig spoléhá na tyto funkce, ale neříká, jak najít pomalé proměnné dané Hamiltonian
.
Skalární součin[3] mezi dvěma libovolnými funkcemi fázového prostoru
a
je definována rovnovážnou korelací

kde

označuje mikrokanonický rovnovážné rozdělení. „Rychlé“ proměnné jsou podle definice kolmé ke všem funkcím
z
pod tímto skalárním součinem. Tato definice uvádí, že fluktuace rychlých a pomalých proměnných nesouvisí a podle ergodické hypotézy to platí také pro časové průměry. Pokud obecná funkce
je korelován s některými pomalými proměnnými, pak lze odečíst funkce pomalých proměnných, dokud nezůstane nekorelovaná rychlá část
. Produkt pomalé a rychlé proměnné je rychlá proměnná.
Operátor projekce
Zvažte souvislou sadu funkcí
s
konstantní. Libovolná funkce fázového prostoru
záleží na
jen skrz
je funkcí
, jmenovitě

Obecná funkce fázového prostoru
rozkládá se podle

kde
je rychlá část
. Chcete-li získat výraz pro pomalou část
z
vezměte skalární součin s pomalou funkcí
,

To dává výraz pro
, a tedy pro provozovatele
promítání libovolné funkce
na jeho „pomalou“ část v závislosti na
jen skrz
,

Tento výraz souhlasí s výrazem daným Zwanzigem,[1] kromě toho, že Zwanzig subsumuje
v pomalých proměnných. Operátor projekce Zwanzig splňuje
a
. Rychlá část
je
. Funkce pomalých proměnných a zejména produktů pomalých proměnných jsou pomalé proměnné. Prostor pomalých proměnných je tedy algebra. Algebra obecně není uzavřena pod Poissonovou závorkou, včetně Poissonova závorka s Hamiltonian.
Spojení s Liouvilleovou a Masterovou rovnicí
Konečné odůvodnění definice
jak je uvedeno výše, umožňuje odvodit hlavní rovnici pro časově závislé rozdělení pravděpodobnosti
pomalých proměnných (nebo Langevinovy rovnice pro samotné pomalé proměnné).
Chcete-li načrtnout typické kroky, dovolte
označuje časově závislé rozdělení pravděpodobnosti ve fázovém prostoru. Hustota fázového prostoru
(stejně jako
) je řešením Liouvilleova rovnice

Rozhodujícím krokem pak je psát
,
a promítnout Liouvilleovu rovnici na pomalý a rychlý podprostor,[1]


Řešení druhé rovnice pro
a vkládání
do první rovnice dává uzavřenou rovnici pro
(vidět Nakajima – Zwanzigova rovnice Druhá rovnice nakonec dává rovnici pro
kde
označuje rovnovážné rozdělení pomalých proměnných.
Nelineární Langevinovy rovnice
Výchozím bodem pro standardní derivaci Langevinovy rovnice je identita
, kde
promítněte do rychlého podprostoru. Zvažte jednotlivé malé časové kroky
s operátorem evoluce
, kde
je Operátor Liouville. Cílem je vyjádřit
ve smyslu
a
. Motivací je to
je funkce pomalých proměnných a to
generuje výrazy, které jsou rychlými proměnnými v každém časovém kroku. Očekává se, že takto izolované rychlé proměnné mohou být reprezentovány některými daty modelu, například gaussovským bílým šumem. Rozkladu je dosaženo vynásobením
zleva s
, s výjimkou posledního výrazu, který je vynásoben
. Iterace dává

Poslední řádek lze prokázat také indukcí. Za předpokladu
a plnění limitu
přímo vede k identitě operátora Kawasaki[2]

Obecná Langevinova rovnice se získá aplikací této rovnice na časovou derivaci pomalé proměnné
,
,

Tady
je kolísající síla (záleží pouze na rychlých proměnných). Termín vazby režimu
a tlumící termín
jsou funkcionáři
a
a lze jej značně zjednodušit.[1][2][4]
Diskrétní sada funkcí, vztah k Moriho projekčnímu operátoru
Místo rozšiřování pomalé části
v spojité sadě
z funkcí lze také použít nějakou vyčíslitelnou sadu funkcí
. Pokud tyto funkce tvoří kompletní sadu ortonormálních funkcí, pak operátor projekce jednoduše přečte

Speciální volba pro
jsou ortonormalizované lineární kombinace pomalých proměnných
. To vede k operátorovi projekce Mori.[3] Sada lineárních funkcí však není úplná a ortogonální proměnné nejsou rychlé nebo náhodné, pokud nelinearita v
přichází do hry.
Reference