Spektrální zobrazení Källén – Lehmann - Källén–Lehmann spectral representation

Teorie kvantového pole
Feynmanův diagram
Dějiny
Pozadí Teorie pole Elektromagnetismus Slabá síla Silná síla Kvantová mechanika Speciální relativita Obecná relativita Teorie měřidla
Symetrie Symetrie v kvantové mechanice C-symetrie P-symetrie T-symetrie Symetrie překladu prostoru Symetrie překladu času Rotační symetrie Lorentzova symetrie Poincarého symetrie Symetrie měřidla Explicitní narušení symetrie Spontánní narušení symetrie Teorie Yang – Mills Noether poplatek Topologický náboj
Nástroje Anomálie Přechod Efektivní teorie pole Očekávaná hodnota Pole duchů Faddeev – Popovští duchové Feynmanův diagram Teorie mřížky LSZ redukční vzorec Funkce oddílu Propagátor Kvantování Regulace Renormalizace Stav vakua Wickova věta Wightmanovy axiomy Feynmanova parametrizace
Rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice Proca rovnice Wheeler – DeWittova rovnice Bargmann – Wignerovy rovnice Joos – Weinbergova rovnice Weylova rovnice
Standardní model Stav kvantového vakua Kvantová dynamika Kvantová termodynamika Kvantová elektrodynamika Elektroslabá interakce Kvantová chromodynamika Higgsův mechanismus Virtuální částice
Neúplné teorie Kauzální dynamická triangulace Příčinné fermionové systémy Kauzální sady Konformní teorie pole Diracké moře Poruchová teorie Teorie dvourozměrného konformního pole Teorie kvantového pole v zakřiveném časoprostoru Teorie tepelného kvantového pole Topologická kvantová teorie pole Kvantová geometrie Poloklasická gravitace Odstředivá pěna Teorie strun Teorie superstrun M-teorie Supersymetrie Supergravitace Technicolor Teorie všeho Kanonická kvantová gravitace Kvantová gravitace Smyčka kvantové gravitace Smyčková kvantová kosmologie Teorie skrytých proměnných Teorie objektivního kolapsu
Vědci Adler Anderson Být Bogoliubov Colemane Callan DeWitt Dirac Dysone Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Gell-Mann Goldstone Hrubý Heisenberg 't Hooft Jackiw Jordán Landau Závětří Lehmann Mandelstam Majorana Nambu Parisi Polyakov salám Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin

The Spektrální zobrazení Källén – Lehmann dává obecný výraz pro (objednaný čas) dvoubodová funkce interakce kvantová teorie pole jako součet zdarma propagátoři. Objevil jej Gunnar Källén a Harry Lehmann nezávisle.^[1][2] To lze zapsat jako pomocí metrického podpisu většinou minus,

${ displaystyle Delta (p) = int _ {0} ^ { infty} d mu ^ {2} rho ( mu ^ {2}) { frac {1} {p ^ {2} - mu ^ {2} + i epsilon}},}$

kde ${ displaystyle rho ( mu ^ {2})}$ je funkce spektrální hustoty, která by měla být kladně definitivní. V teorie měřidel, tuto druhou podmínku nelze splnit, lze však poskytnout spektrální zobrazení.^[3] To patří neporušující techniky kvantová teorie pole.

Matematická derivace

Následující derivace využívá metrický podpis většinou minus.

Aby bylo možné odvodit spektrální reprezentaci pro množitele pole ${ displaystyle Phi (x)}$, uvažujeme o kompletní sadě států ${ displaystyle {| n rangle }}$ tak, aby pro dvoubodová funkce dá se psát

${ displaystyle langle 0 | Phi (x) Phi ^ { dagger} (y) | 0 rangle = sum _ {n} langle 0 | Phi (x) | n rangle langle n | Phi ^ { dagger} (y) | 0 rangle.}$

Nyní můžeme použít Poincarého invariance vakua zapsat

${ displaystyle langle 0 | Phi (x) Phi ^ { dagger} (y) | 0 rangle = sum _ {n} e ^ {- ip_ {n} cdot (xy)} | langle 0 | Phi (0) | n rangle | ^ {2}.}$

Představme si funkci spektrální hustoty

${ displaystyle rho (p ^ {2}) theta (p_ {0}) (2 pi) ^ {- 3} = součet _ {n} delta ^ {4} (p-p_ {n} ) | langle 0 | Phi (0) | n rangle | ^ {2}}$.

Použili jsme skutečnost, že naše dvoubodová funkce, která je funkcí ${ displaystyle p _ { mu}}$, může záviset jen na ${ displaystyle p ^ {2}}$. Kromě toho mají všechny přechodné stavy ${ displaystyle p ^ {2} geq 0}$ a ${ displaystyle p_ {0}> 0}$. Okamžitě si uvědomíme, že funkce spektrální hustoty je skutečná a pozitivní. Dá se tedy psát

${ displaystyle langle 0 | Phi (x) Phi ^ { dagger} (y) | 0 rangle = int { frac {d ^ {4} p} {(2 pi) ^ {3} }} int _ {0} ^ { infty} d mu ^ {2} e ^ {- ip cdot (xy)} rho ( mu ^ {2}) theta (p_ {0}) delta (p ^ {2} - mu ^ {2})}$

a volně si vyměňujeme integraci, mělo by to být provedeno opatrně z matematického hlediska, ale tady to ignorujeme a tento výraz zapíšeme jako

${ displaystyle langle 0 | Phi (x) Phi ^ { dagger} (y) | 0 rangle = int _ {0} ^ { infty} d mu ^ {2} rho ( mu ^ {2}) Delta '(xy; mu ^ {2})}$

bytost

${ displaystyle Delta '(xy; mu ^ {2}) = int { frac {d ^ {4} p} {(2 pi) ^ {3}}} e ^ {- ip cdot ( xy)} theta (p_ {0}) delta (p ^ {2} - mu ^ {2})}$.

Z CPT teorém víme také, že platí stejný výraz ${ displaystyle langle 0 | Phi ^ { dagger} (x) Phi (y) | 0 rangle}$ a tak se dostáváme k výrazu pro chronologicky seřazený součin polí

${ displaystyle langle 0 | T Phi (x) Phi ^ { dagger} (y) | 0 rangle = int _ {0} ^ { infty} d mu ^ {2} rho ( mu ^ {2}) Delta (xy; mu ^ {2})}$

být teď

${ displaystyle Delta (p; mu ^ {2}) = { frac {1} {p ^ {2} - mu ^ {2} + i epsilon}}}$

volná částice propagátor. Nyní, protože máme přesný propagátor daný chronologicky uspořádanou dvoubodovou funkcí, jsme získali spektrální rozklad.

Reference

Bibliografie

• Weinberg, S. (1995). Kvantová teorie polí: základy I. svazku. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55001-7.
• Peskin, Michael; Schoeder, Daniel (1995). Úvod do teorie kvantového pole. Skupina knih Perseus. ISBN  978-0-201-50397-5.
• Zinn-Justin, Jean (1996). Kvantová teorie pole a kritické jevy (3. vyd.). Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851882-2.