Jensensova nerovnost - Jensens inequality - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Jensenova nerovnost“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Jensenova nerovnost zevšeobecňuje tvrzení, že sečanovaná čára konvexní funkce leží nad grafem.

Přehrát média

Vizualizace konvexity a Jensenovy nerovnosti

v matematika, Jensenova nerovnost, pojmenovaný po dánském matematikovi Johan Jensen, souvisí hodnota a konvexní funkce z integrální k integrálu konvexní funkce. Bylo prokázáno Jensenem v roce 1906.^[1] Vzhledem k jeho obecnosti se nerovnost objevuje v mnoha formách v závislosti na kontextu, z nichž některé jsou uvedeny níže. Ve své nejjednodušší formě nerovnost uvádí, že konvexní transformace průměru je menší nebo rovna průměru použitému po konvexní transformaci; je jednoduchým důsledkem, že u konkávních transformací je to naopak.

Jensenova nerovnost zobecňuje tvrzení, že sekanční čára konvexní funkce leží výše graf funkce, což je Jensenova nerovnost pro dva body: sečna se skládá z vážených průměrů konvexní funkce (pro t ∈ [0,1]),

${ displaystyle tf (x_ {1}) + (1-t) f (x_ {2}),}$

zatímco graf funkce je konvexní funkcí váženého průměru,

${ displaystyle f left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} right).}$

Jensenova nerovnost tedy je

${ displaystyle f left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} right) leq tf (x_ {1}) + (1-t) f (x_ {2}).}$

V kontextu teorie pravděpodobnosti, obecně se uvádí v následující podobě: pokud X je náhodná proměnná a φ je tedy konvexní funkce

${ displaystyle varphi left ( operatorname {E} [X] right) leq operatorname {E} left [ varphi (X) right].}$

Rozdíl mezi oběma stranami nerovnosti, ${ displaystyle operatorname {E} left [ varphi (X) right] - varphi left ( operatorname {E} [X] right)}$, se nazývá Jensenova mezera.^[2]

Prohlášení

Klasická forma Jensenovy nerovnosti zahrnuje několik čísel a vah. Nerovnost lze obecně konstatovat buď pomocí jazyka teorie míry nebo (ekvivalentně) pravděpodobnost. V pravděpodobnostní situaci lze nerovnost dále zobecnit na její plná síla.

Konečná forma

Opravdu konvexní funkce ${ displaystyle varphi}$, čísla ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ v jeho doméně a kladné váhy ${ displaystyle a_ {i}}$, Jensenovu nerovnost lze konstatovat jako:

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum a_ {i} x_ {i}} { sum a_ {i}}} right) leq { frac { sum a_ {i} varphi ( x_ {i})} { součet a_ {i}}} qquad qquad (1)}$

a nerovnost je obrácena, pokud ${ displaystyle varphi}$ je konkávní, který je

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum a_ {i} x_ {i}} { sum a_ {i}}} right) geq { frac { sum a_ {i} varphi ( x_ {i})} { součet a_ {i}}}. qquad qquad (2)}$

Rovnost platí tehdy a jen tehdy ${ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = cdots = x_ {n}}$ nebo ${ displaystyle varphi}$ je lineární na doméně obsahující ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}}$.

Jako zvláštní případ, pokud váhy ${ displaystyle a_ {i}}$ jsou si všechny rovny, pak (1) a (2) se stanou

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum x_ {i}} {n}} right) leq { frac { sum varphi (x_ {i})} {n}} qquad qquad (3)}$

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum x_ {i}} {n}} right) geq { frac { sum varphi (x_ {i})} {n}} qquad qquad (4)}$

Například funkce log (X) je konkávní, takže střídání ${ displaystyle varphi (x) = log (x)}$ v předchozím vzorci (4) se stanoví (logaritmus) známého aritmeticko-střední / geometricky-střední nerovnost:

${ displaystyle log ! left ({ frac { sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} {n}} right) geq { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} log ! Left (x_ {i} right)} {n}} quad { text {or}} quad { frac {x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n}} {n}} geq { sqrt [{n}] {x_ {1} cdot x_ {2} cdots x_ {n}}}}$

Běžná aplikace má ${ displaystyle x}$ jako funkce jiné proměnné (nebo sady proměnných) ${ displaystyle t}$, to znamená, ${ displaystyle x_ {i} = g (t_ {i})}$. To vše se přenáší přímo na obecný souvislý případ: váhy A_i jsou nahrazeny nezápornou integrovatelnou funkcí  F (X), jako je rozdělení pravděpodobnosti, a součty jsou nahrazeny integrály.

Míra-teoretická a pravděpodobnostní forma

Nechat ${ displaystyle ( Omega, A, mu)}$ být pravděpodobnostní prostor, takový, že ${ displaystyle mu ( Omega) = 1}$. Li ${ displaystyle g}$ je nemovitý -hodnotená funkce, která je ${ displaystyle mu}$-integrovatelný, a pokud ${ displaystyle varphi}$ je konvexní funkce na skutečné lince, pak:

${ Displaystyle varphi left ( int _ { Omega} g , d mu right) leq int _ { Omega} varphi circ g , d mu.}$

Ve skutečné analýze můžeme požadovat odhad na

${ displaystyle varphi left ( int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right),}$

kde ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$, a ${ displaystyle f colon [a, b] to mathbb {R}}$ je nezáporný Lebesgue-integrovatelný funkce. V tomto případě je Lebesgueova míra ${ displaystyle [a, b]}$ nemusí být jednota. Integrací substitucí však lze interval změnit tak, aby měl míru jednoty. Pak lze Jensenovu nerovnost použít k získání^[3]

${ displaystyle varphi left ({ frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right) leq { frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} varphi (f (x)) , dx.}$

Stejný výsledek lze ekvivalentně uvést v a teorie pravděpodobnosti nastavení jednoduchou změnou notace. Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathfrak {F}}, operatorname {P})}$ být pravděpodobnostní prostor, X an integrovatelný skutečný náhodná proměnná a φ A konvexní funkce. Pak:

${ displaystyle varphi left ( operatorname {E} [X] right) leq operatorname {E} left [ varphi (X) right].}$

V tomto nastavení pravděpodobnosti míra μ je míněno jako pravděpodobnost ${ displaystyle operatorname {P}}$, integrál s ohledem na μ jako očekávaná hodnota ${ displaystyle operatorname {E}}$a funkce ${ displaystyle g}$ jako náhodná proměnná X.

Všimněte si, že rovnost platí právě tehdy φ je lineární funkce na nějaké množině ${ displaystyle A}$ takhle ${ displaystyle mathrm {P} (X v A) = 1}$ (což následuje kontrolou níže uvedeného teoretického důkazu opatření).

Obecná nerovnost v pravděpodobnostním prostředí

Obecněji řečeno T být skutečný topologický vektorový prostor, a X A T-hodnota integrovatelný náhodná proměnná. V tomto obecném nastavení integrovatelný znamená, že existuje prvek ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ v T, tak, že pro jakýkoli prvek z v dvojí prostor z T: ${ displaystyle operatorname {E} | langle z, X rangle | < infty}$, a ${ displaystyle langle z, operatorname {E} [X] rangle = operatorname {E} [ langle z, X rangle]}$. Pak pro jakoukoli měřitelnou konvexní funkci φ a jakékoli dílčíσ-algebra ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {F}}}$:

${ displaystyle varphi left ( operatorname {E} left [X mid { mathfrak {G}} right] right) leq operatorname {E} left [ varphi (X) mid { mathfrak {G}} vpravo].}$

Tady ${ displaystyle operatorname {E} [ cdot mid { mathfrak {G}}]}$ znamená očekávání podmíněno k σ-algebře ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$. Toto obecné tvrzení se redukuje na předchozí, když topologický vektorový prostor T je skutečná osa, a ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ je triviální σ-algebra {∅, Ω} (kde ∅ je prázdná sada, a Ω je ukázkový prostor ).^[4]

Naostřený a zobecněný tvar

Nechat X být jednorozměrná náhodná proměnná se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2} geq 0}$. Nechat ${ displaystyle varphi (x)}$ být dvakrát rozlišitelnou funkcí a definovat funkci

${ Displaystyle h (x) triangleq { frac { varphi vlevo (x right) - varphi left ( mu right)} { left (x- mu right) ^ {2}} } - { frac { varphi ' left ( mu right)} {x- mu}}.}$

Pak^[5]

${ displaystyle sigma ^ {2} inf { frac { varphi '' (x)} {2}} leq sigma ^ {2} inf h (x) leq E left [ varphi left (X right) right] - varphi left (E [X] right) leq sigma ^ {2} sup h (x) leq sigma ^ {2} sup { frac { varphi '' (x)} {2}}.}$

Zejména když ${ displaystyle varphi (x)}$ je tedy konvexní ${ displaystyle varphi '(x) geq 0}$, a okamžitě následuje standardní forma Jensenovy nerovnosti pro případ, kdy ${ displaystyle varphi (x)}$ dále se předpokládá, že je dvakrát diferencovatelný.

Důkazy

Grafický „důkaz“ Jensenovy nerovnosti pro pravděpodobnostní případ. Přerušovaná křivka podél X osa je hypotetické rozdělení X, zatímco přerušovaná křivka podél Y osa je odpovídající distribuce Y hodnoty. Všimněte si, že konvexní mapování Y(X) stále více "roztahuje" distribuci pro zvyšování hodnot X.

Toto je důkaz beze slov o Jensenově nerovnosti pro n proměnné. Bez ztráty obecnosti je součet kladných vah 1. Z toho vyplývá, že vážený bod leží v konvexním trupu původních bodů, který leží nad samotnou funkcí podle definice konvexity. Následuje závěr.^[6]

Jensenovu nerovnost lze prokázat několika způsoby a budou nabídnuty tři různé důkazy odpovídající různým výše uvedeným tvrzením. Než se pustíme do těchto matematických derivací, stojí za to analyzovat intuitivní grafický argument založený na pravděpodobnostním případě, kdy X je reálné číslo (viz obrázek). Za předpokladu hypotetického rozdělení X hodnot, lze okamžitě identifikovat polohu ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ a jeho image ${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X])}$ v grafu. Všimněte si, že pro konvexní mapování Y = φ(X) odpovídající rozdělení Y hodnoty se stále více "roztahují" pro zvyšování hodnot X, je snadné vidět, že distribuce Y je širší v intervalu odpovídajícím X > X₀ a užší X < X₀ pro všechny X₀; to platí také pro ${ displaystyle X_ {0} = operatorname {E} [X]}$. V důsledku toho je na tomto obrázku očekávání Y se vždy posune nahoru s ohledem na polohu ${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X])}$. Podobné úvahy platí, pokud je distribuce X pokrývá klesající část konvexní funkce nebo její klesající i rostoucí část. To „dokazuje“ nerovnost, tj.

${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X]) leq operatorname {E} [ varphi (X)] = operatorname {E} [Y],}$

s rovností, když φ(X) není striktně konvexní, např. když je to přímka, nebo kdy X následuje a zdegenerovaná distribuce (tj. je konstanta).

Důkazy níže formalizují tuto intuitivní představu.

Důkaz 1 (konečná forma)

Li λ₁ a λ₂ jsou dvě libovolná nezáporná reálná čísla taková λ₁ + λ₂ = 1 pak konvexnost φ naznačuje

${ displaystyle forall x_ {1}, x_ {2}: qquad varphi left ( lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} right) leq lambda _ {1} , varphi (x_ {1}) + lambda _ {2} , varphi (x_ {2}).}$

To lze snadno zobecnit: pokud λ₁, ..., λ_n jsou záporná reálná čísla taková, že λ₁ + ... + λ_n = 1, pak

${ displaystyle varphi ( lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} + cdots + lambda _ {n} x_ {n}) leq lambda _ {1} , varphi (x_ {1}) + lambda _ {2} , varphi (x_ {2}) + cdots + lambda _ {n} , varphi (x_ {n}),}$

pro všechny X₁, ..., X_n. Tento konečná forma Jensenovy nerovnosti lze dokázat indukce: hypotézami konvexity je tvrzení pravdivé pro n = 2. Předpokládejme, že to platí i pro některé n, je třeba to dokázat n + 1. Alespoň jeden z λ_i je přísně pozitivní, řekněme λ₁; proto konvexní nerovností:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} varphi left ( sum _ {i = 1} ^ {n + 1} lambda _ {i} x_ {i} right) & = varphi left ( lambda _ {1} x_ {1} + (1- lambda _ {1}) sum _ {i = 2} ^ {n + 1} { frac { lambda _ {i}} {1- lambda _ {1}}} x_ {i} right) & leq lambda _ {1} , varphi (x_ {1}) + (1- lambda _ {1}) varphi left ( součet _ {i = 2} ^ {n + 1} { frac { lambda _ {i}} {1- lambda _ {1}}} x_ {i} right). end {zarovnáno}}}$

Od té doby

${ displaystyle sum _ {i = 2} ^ {n + 1} { frac { lambda _ {i}} {1- lambda _ {1}}} = 1,}$

lze použít indukční hypotézy na poslední člen v předchozím vzorci, abychom získali výsledek, konkrétně konečnou formu Jensenovy nerovnosti.

Abychom z této konečné formy získali obecnou nerovnost, je třeba použít argument hustoty. Konečnou formu lze přepsat jako:

${ Displaystyle varphi left ( int x , d mu _ {n} (x) right) leq int varphi (x) , d mu _ {n} (x),}$

kde μ_n je míra daná libovolně konvexní kombinace z Dirac delty:

${ displaystyle mu _ {n} = součet _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} delta _ {x_ {i}}.}$

Protože konvexní funkce jsou kontinuální, a protože konvexní kombinace delta delta jsou slabě hustý v souboru pravděpodobnostních opatření (jak lze snadno ověřit) je obecné tvrzení získáno jednoduše omezujícím postupem.

Důkaz 2 (míra-teoretická forma)

Nechat G být skutečnou hodnotou μ-integrovatelné funkce v prostoru pravděpodobnosti Ω, a nechat φ být konvexní funkcí na reálných číslech. Od té doby φ je konvexní, u každého reálného čísla X máme neprázdnou sadu subderiváty, které lze považovat za čáry dotýkající se grafu φ na X, ale které jsou na nebo pod grafem φ ve všech bodech (podpůrné čáry grafu).

Nyní, pokud definujeme

${ displaystyle x_ {0}: = int _ { Omega} g , d mu,}$

z důvodu existence subderivátů pro konvexní funkce si můžeme vybrat A a b takhle

${ displaystyle sekera + b leq varphi (x),}$

pro všechny skutečné X a

${ displaystyle ax_ {0} + b = varphi (x_ {0}).}$

Ale pak tu máme

${ displaystyle varphi circ g (x) geq ag (x) + b}$

pro všechny X. Protože máme míru pravděpodobnosti, integrál je monotónní s μ(Ω) = 1 aby

${ displaystyle int _ { Omega} varphi circ g , d mu geq int _ { Omega} (ag + b) , d mu = a int _ { Omega} g , d mu + b int _ { Omega} d mu = ax_ {0} + b = varphi (x_ {0}) = varphi left ( int _ { Omega} g , d mu right),}$

podle přání.

Důkaz 3 (obecná nerovnost v pravděpodobnostním prostředí)

Nechat X být integrovatelná náhodná proměnná, která přijímá hodnoty ve skutečném topologickém vektorovém prostoru T. Od té doby ${ displaystyle varphi: T to mathbb {R}}$ je konvexní, pro všechny ${ displaystyle x, y v T}$, množství

${ displaystyle { frac { varphi (x + theta , y) - varphi (x)} { theta}},}$

klesá jako θ blíží 0⁺. Zejména subdiferenciální z ${ displaystyle varphi}$ hodnoceno na X ve směru y je dobře definován

${ displaystyle (D varphi) (x) cdot y: = lim _ { theta downarrow 0} { frac { varphi (x + theta , y) - varphi (x)} { theta }} = inf _ { theta neq 0} { frac { varphi (x + theta , y) - varphi (x)} { theta}}.}$

Je snadno vidět, že subdiferenciál je lineární y^{[Citace je zapotřebí ]} (to je nepravdivé a tvrzení vyžaduje prokázání Hahn-Banachovy věty) a protože infimum přijaté na pravé straně předchozího vzorce je menší než hodnota stejného výrazu pro θ = 1, jeden dostane

${ displaystyle varphi (x) leq varphi (x + y) - (D varphi) (x) cdot y.}$

Zejména pro libovolný dílčíσ-algebra ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ můžeme vyhodnotit poslední nerovnost, když ${ displaystyle x = operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}], , y = X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]}$ získat

${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]) leq varphi (X) - (D varphi) ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}])) cdot (X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]).}$

Nyní, pokud vezmeme podmíněné očekávání ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ na obou stranách předchozího výrazu dostaneme výsledek, protože:

${ displaystyle operatorname {E} left [ left [(D varphi) ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}])) cdot (X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]) right] mid { mathfrak {G}} right] = (D varphi) ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}] ) cdot operatorname {E} [ left (X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}] right) mid { mathfrak {G}}] = 0,}$

linearitou subdiferenciálu v y proměnná a následující známá vlastnost souboru podmíněné očekávání:

${ displaystyle operatorname {E} left [ left ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}] right) mid { mathfrak {G}} right] = operatorname { E} [X mid { mathfrak {G}}].}$

Aplikace a zvláštní případy

Forma zahrnující funkci hustoty pravděpodobnosti

Předpokládat Ω je měřitelná podmnožina skutečné linie a F(X) je nezáporná funkce taková

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = 1.}$

V pravděpodobnostním jazyce, F je funkce hustoty pravděpodobnosti.

Pak se Jensenova nerovnost stává následujícím výrokem o konvexních integrálech:

Li G je jakákoli skutečně měřitelná měřitelná funkce a ${ textstyle varphi}$ je konvexní v rozsahu G, pak

${ displaystyle varphi left ( int _ {- infty} ^ { infty} g (x) f (x) , dx right) leq int _ {- infty} ^ { infty} varphi (g (x)) f (x) , dx.}$

Li G(X) = X, pak se tato forma nerovnosti redukuje na běžně používaný speciální případ:

${ displaystyle varphi left ( int _ {- infty} ^ { infty} x , f (x) , dx right) leq int _ {- infty} ^ { infty} varphi (x) , f (x) , dx.}$

Toto se používá v Variační Bayesovské metody.

Příklad: sudý momenty náhodné proměnné

Li G(X) = X²ⁿ, a X je tedy náhodná proměnná G je konvexní jako

${ displaystyle { frac {d ^ {2} g} {dx ^ {2}}} (x) = 2n (2n-1) x ^ {2n-2} geq 0 quad forall x in mathbb {R}}$

a tak

${ displaystyle g ( operatorname {E} [X]) = ( operatorname {E} [X]) ^ {2n} leq operatorname {E} [X ^ {2n}].}$

Zejména pokud nějaký sudý okamžik 2n z X je konečný, X má konečný průměr. Ukazuje rozšíření tohoto argumentu X má konečné okamžiky každé objednávky ${ displaystyle l in mathbb {N}}$ dělení n.

Alternativní konečná forma

Nechat Ω = {X₁, ... X_n}, a vzít μ být počítání opatření na Ω, pak se obecná forma redukuje na výpis o částkách:

${ displaystyle varphi left ( sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i}) lambda _ {i} right) leq sum _ {i = 1} ^ {n} varphi (g (x_ {i})) lambda _ {i},}$

pokud λ_i ≥ 0 a

${ displaystyle lambda _ {1} + cdots + lambda _ {n} = 1.}$

Existuje také nekonečná diskrétní forma.

Statistická fyzika

Jensenova nerovnost má zvláštní význam ve statistické fyzice, když je konvexní funkce exponenciální, což dává:

${ displaystyle e ^ { operatorname {E} [X]} leq operatorname {E} doleva [e ^ {X} doprava],}$

Kde očekávané hodnoty jsou s ohledem na některé rozdělení pravděpodobnosti v náhodná proměnná X.

Důkaz je v tomto případě velmi jednoduchý (srov. Chandler, kap. 5.5). Požadovaná nerovnost následuje přímo psaním

${ Displaystyle operatorname {E} left [e ^ {X} right] = e ^ { operatorname {E} [X]} operatorname {E} left [e ^ {X- operatorname {E} [X]} vpravo]}$

a poté aplikovat nerovnost E^X ≥ 1 + X na konečný exponenciál.

Informační teorie

Li p(X) je skutečná hustota pravděpodobnosti pro X, a q(X) je další hustota, pak se použije Jensenova nerovnost pro náhodnou proměnnou Y(X) = q(X)/p(X) a konvexní funkce φ(y) = −log (y) dává

${ displaystyle operatorname {E} [ varphi (Y)] geq varphi ( operatorname {E} [Y])}$

Proto:

${ displaystyle -D (p (x) | q (x)) = int p (x) log left ({ frac {q (x)} {p (x)}} right) , dx leq log left ( int p (x) { frac {q (x)} {p (x)}} , dx right) = log left ( int q (x) , dx right) = 0}$

výsledek volal Gibbsova nerovnost.

Ukazuje, že průměrná délka zprávy je minimalizována, pokud jsou kódy přiřazeny na základě skutečných pravděpodobností p spíše než jakákoli jiná distribuce q. Nezáporné množství se nazývá Kullback – Leiblerova divergence z q z p.

Od té doby −log (X) je striktně konvexní funkce pro X > 0, z toho vyplývá, že rovnost platí, když p(X) rovná se q(X) téměř všude.

Rao – Blackwellova věta

Li L je konvexní funkce a ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ sub-sigma-algebra, pak z podmíněné verze Jensenovy nerovnosti dostaneme

${ displaystyle L ( operatorname {E} [ delta (X) mid { mathfrak {G}}]) leq operatorname {E} [L ( delta (X)) mid { mathfrak {G }}] quad Longrightarrow quad operatorname {E} [L ( operatorname {E} [ delta (X) mid { mathfrak {G}}])]] leq operatorname {E} [L ( delta (X))].}$

Takže pokud δ (X) je nějaký odhadce nepozorovaného parametru θ vzhledem k vektoru pozorovatelných X; a pokud T(X) je dostatečná statistika pro θ; pak vylepšený odhadce ve smyslu menší očekávané ztráty L, lze získat výpočtem

${ displaystyle delta _ {1} (X) = operatorname {E} _ { theta} [ delta (X ') mid T (X') = T (X)],}$

očekávaná hodnota δ vzhledem k θ převzatá všemi možnými vektory pozorování X kompatibilní se stejnou hodnotou T(X) jak bylo pozorováno. Dále, protože T je dostatečná statistika, ${ displaystyle delta _ {1} (X)}$ nezávisí na θ, proto se stává statistikou.

Tento výsledek je znám jako Rao – Blackwellova věta.

Viz také

• Karamatova nerovnost pro obecnější nerovnost
• Popoviciuova nerovnost
• Zákon průměrů
• Důkaz beze slov o Jensenově nerovnosti

Poznámky

Reference

• David Chandler (1987). Úvod do moderní statistické mechaniky. Oxford. ISBN  0-19-504277-8.
• Tristan Needham (1993) „Vizuální vysvětlení Jensenovy nerovnosti“, Americký matematický měsíčník 100(8):768–71.
• Nicola Fusco; Paolo Marcellini; Carlo Sbordone (1996). Analisi Matematica Due. Liguori. ISBN  978-88-207-2675-1.
• Walter Rudin (1987). Skutečná a komplexní analýza. McGraw-Hill. ISBN  0-07-054234-1.

externí odkazy

• Nerovnost operátora Jensena Hansena a Pedersena.
• „Jensenova nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Jensenova nerovnost“. MathWorld.
• Arthur Lohwater (1982). „Úvod do nerovností“. Online elektronická kniha ve formátu PDF.