Jednotný matroid - Uniform matroid

V matematice, a jednotný matroid je matroid ve kterém nezávislé množiny jsou přesně množiny obsahující maximálně r prvky, pro nějaké pevné celé číslo r. Alternativní definice je, že každý permutace prvků je a symetrie.

Definice

Uniformní matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ je definován přes sadu ${ displaystyle n}$ elementy. Podmnožina prvků je nezávislá, právě když obsahuje maximálně ${ displaystyle r}$ elementy. Podmnožina je základem, pokud má přesně ${ displaystyle r}$ prvků a je to obvod, pokud má přesně ${ displaystyle r + 1}$ elementy. The hodnost podmnožiny ${ displaystyle S}$ je ${ displaystyle min (| S |, r)}$ a hodnost matroidu je ${ displaystyle r}$.^[1][2]

Matroid hodnosti ${ displaystyle r}$ je uniformní právě tehdy, mají-li všechny jeho obvody přesně ${ displaystyle r + 1}$ elementy.^[3]

Matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {2}}$ se nazývá ${ displaystyle n}$-bodová čára.

Dualita a nezletilí

The duální matroid jednotného matroidu ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ je další uniformní matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {n-r}}$. Jednotný matroid je sebe-duální právě tehdy ${ displaystyle r = n / 2}$.^[4]

Každý Méně důležitý jednotného matroidu je jednotný. Omezení jednotného matroidu ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ o jeden prvek (pokud ${ displaystyle r$) produkuje matroid${ displaystyle U {} _ {n-1} ^ {r}}$ a uzavřít smlouvu o jeden prvek (pokud ${ displaystyle r> 0}$) produkuje matroid ${ displaystyle U {} _ {n-1} ^ {r-1}}$.^[5]

Realizace

Uniformní matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ možná zastoupeny jako matroid afinně nezávislých podskupin ${ displaystyle n}$ body v obecná pozice v ${ displaystyle r}$-dimenzionální Euklidovský prostor, nebo jako matroid lineárně nezávislých podmnožin ${ displaystyle n}$ vektory v obecné poloze v an ${ displaystyle (r + 1)}$-dimenzionální skutečné vektorový prostor.

Každý jednotný matroid může být také realizován v projektivní prostory a vektorové prostory na všech dostatečně velkých konečná pole.^[6] Pole však musí být dostatečně velké, aby zahrnovalo dostatek nezávislých vektorů. Například ${ displaystyle n}$-bodová čára ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {2}}$ lze realizovat pouze na konečných polích ${ displaystyle n-1}$ nebo více prvků (protože jinak by projektivní čára nad tímto polem měla méně než ${ displaystyle n}$ body): ${ displaystyle U {} _ {4} ^ {2}}$ není binární matroid, ${ displaystyle U {} _ {5} ^ {2}}$ není ternární matroid atd. Z tohoto důvodu hrají jednotné matroidy důležitou roli Rotaova domněnka Týkající se zakázané menší charakterizace matroidů, které lze realizovat přes konečná pole.^[7]

Algoritmy

Problém nalezení základu minimální hmotnosti a vážený uniformní matroid je v počítačové vědě dobře studován jako problém s výběrem. Může to být vyřešeno v lineární čas.^[8]

Libovolný algoritmus, který testuje, zda je daný matroid jednotný, má přístup k matroidu prostřednictvím věštba nezávislosti, musí provést exponenciální počet věšteckých dotazů, a proto nemůže trvat polynomiální čas.^[9]

Související matroidy

Ledaže ${ displaystyle r in {0, n }}$, jednotný matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ je spojeno: nejde o přímý součet dvou menších matroidů.^[10]Přímý součet rodiny uniformních matroidů (ne nutně všech se stejnými parametry) se nazývá a dělící matroid.

Každý jednotný matroid je a dlažba matroid,^[11] A příčný matroid^[12] a a přísný gammoid.^[6]

Ne každý jednotný matroid je grafický a jednotné matroidy poskytují nejmenší příklad negrafického matroidu, ${ displaystyle U {} _ {4} ^ {2}}$. Uniformní matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {1}}$ je grafický matroid souboru ${ displaystyle n}$-okraj dipólový graf a dvojí uniformní matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {n-1}}$ je jeho grafický matroid duální graf, ${ displaystyle n}$-okraj graf cyklu. ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {0}}$ je grafický matroid grafu s ${ displaystyle n}$ vlastní smyčky a ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {n}}$ je grafický matroid souboru ${ displaystyle n}$-okraj les. Kromě těchto příkladů každý jednotný matroid ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ s ${ displaystyle 1$ obsahuje ${ displaystyle U {} _ {4} ^ {2}}$ jako nezletilý, a proto není grafický.^[13]

The ${ displaystyle n}$-bodová čára poskytuje příklad a Sylvester matroid, matroid, ve kterém každý řádek obsahuje tři nebo více bodů.^[14]

Viz také

• K-set (geometrie)

Reference