Holomorfní tangentní svazek - Holomorphic tangent bundle
v matematika a zejména složitá geometrie, holomorfní tangentní svazek a komplexní potrubí je holomorfní analog tečný svazek a hladké potrubí. Vlákno holomorfního tangenta svazku přes bod je holomorfní tečna prostor, který je tečný prostor podkladového hladkého potrubí, vzhledem ke struktuře a složitý vektorový prostor přes téměř složitá struktura komplexního potrubí .
Definice
Vzhledem ke složitému potrubí komplexní dimenze , jeho tangentní svazek jako hladký vektorový svazek je skutečná hodnost vektorový svazek na . Integrovatelná téměř složitá struktura odpovídá složité struktuře na potrubí je endomorfismus s majetkem, který . Po složitější skutečný tangentní svazek , endomorfismus lze rozšířit komplexně lineárně na endomorfismus definován pro vektory v .
Od té doby , má vlastní čísla na komplexovaném tangenciálním svazku a proto se rozděluje jako přímý součet
kde je -vlastní fond, a the -igenbundle. The holomorfní tangentní svazek z je vektorový svazek a anti-holomorfní tangentní svazek je vektorový svazek .
Vektorové svazky a jsou přirozeně složité vektorové podskupiny komplexní vektorový svazek a jejich duály mohou být použity. The holomorfní kotangensový svazek je dvojník holomorfního tangentního svazku a je zapsán . Podobně anti-holomorfní kotangensový svazek je dvojníkem anti-holomorfního tangenta svazku a je napsán . Holomorfní a anti-holomorfní (ko) tangentní svazky jsou vzájemně zaměňovány časování, který dává skutečný-lineární (ale ne komplexní lineární!) izomorfismus .
Holomorfní tangentní svazek je izomorfní jako skutečný vektorový svazek hodnosti do pravidelného tangenta svazku . Izomorfismus je dán složením začlenění do komplexovaného tangenta svazku a poté projekce na -igenbundle.
The kanonický svazek je definováno .
Alternativní místní popis
V místním holomorfním grafu z , jeden rozlišoval skutečné souřadnice definován pro každého . Ty dávají významné komplexní hodnoty jednoformátové na . Duální k těmto komplexním hodnotám jedné formy jsou vektorová pole se složitou hodnotou (tj. Části komplexizovaného tangenta svazku),
Dohromady tato vektorová pole tvoří rámec pro , omezení komplexovaného tangenta svazku na . Tato vektorová pole jako taková také rozdělují složitý tangenciální svazek na dva dílčí svazky
Pod holomorfní změnou souřadnic tyto dva podskupiny jsou zachovány, a tak zakrytím holomorfními grafy se získá rozdělení komplexovaného tangenta svazku. Jedná se přesně o rozdělení na dříve popsané holomorfní a anti-holomorfní tangentní svazky. Podobně komplexní formy s jednou hodnotou a zajistit rozdělení komplexovaného kotangenský svazek do holomorfních a anti-holomorfních kotangensových svazků.
Z tohoto pohledu název holomorfní tangentní svazek stane se transparentní. Jmenovitě, přechodové funkce pro holomorfní tangenciální svazek s místními rámci generovanými , jsou dány Jacobian matrix přechodových funkcí . Výslovně, pokud máme dva grafy se dvěma sadami souřadnic , pak
Vzhledem k tomu, že souřadnicové funkce jsou holomorfní, jsou i jejich deriváty, a proto jsou přechodové funkce holomorfního tangensového svazku také holomorfní. Holomorfní tangentní svazek je tedy pravý holomorfní vektorový svazek. Podobně holomorfní kotangensový svazek je skutečný holomorfní vektorový svazek s přechodovými funkcemi danými inverzí Jacobovy matice. Všimněte si, že anti-holomorfní tangenty a kotangentní svazky nemají holomorfní přechodové funkce, ale anti-holomorfní.
Pokud jde o popsané místní rámce, téměř složitá struktura jedná
nebo ve skutečných souřadnicích pomocí
Holomorfní vektorová pole a diferenciální formy
Vzhledem k tomu, že holomorfní tangensové a kotangensové svazky mají strukturu holomorfních vektorových svazků, existují výrazné holomorfní řezy. A holomorfní vektorové pole je holomorfní část . A holomorfní jedna forma je holomorfní část . Převzetím vnějších schopností , lze definovat holomorfní -formuláře pro celá čísla . The Cauchy-Riemannův operátor z může být rozšířen z funkcí na komplexně oceněné diferenciální formy a holomorfní sekce holomorfního kotangensového svazku souhlasí s komplexně oceněným diferenciálem -formy, které jsou zničeny . Více podrobností viz složité diferenciální formy.
Viz také
Reference
- Huybrechts, Daniel (2005). Komplexní geometrie: Úvod. Springer. ISBN 3-540-21290-6.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, PAN 1288523
![]() | Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |