Doplněk (teorie skupin) - Complement (group theory)

v matematika, zejména v oblasti algebra známý jako teorie skupin, a doplněk a podskupina H v skupina G je podskupina K. z G takhle

${displaystyle G = HK = {hk: hin H, kin K} {ext {and}} Hcap K = {e}.}$

Ekvivalentně každý prvek G má jedinečný výraz jako produkt hk kde h ∈ H a k ∈ K.. Tento vztah je symetrický: pokud K. je doplňkem H, pak H je doplňkem K.. Ani H ani K. musí být normální podskupina z G.

Vlastnosti

• Doplňky nemusí existovat, a pokud ano, nemusí být jedinečné. To znamená, H může mít dva odlišné doplňky K.₁ a K.₂ v G.
• Pokud existuje několik doplňků normální podskupiny, pak jsou nutně izomorfní k sobě navzájem ak kvocientová skupina.
• Li K. je doplňkem H v G pak K. tvoří levou i pravou stranu příčný z H. To znamená, že prvky K. tvoří úplnou sadu zástupců levice i pravice kosety z H.
• The Schur – Zassenhausova věta zaručuje existenci doplňků normálu Hall podskupiny z konečné skupiny.

Vztah k ostatním produktům

Doplňky zobecňují jak přímý produkt (kde podskupiny H a K. jsou normální v G) a polopřímý produkt (kde jeden z H nebo K. je normální v G). Produkt odpovídající obecnému doplňku se nazývá interní produkt Zappa – Szép. Když H a K. jsou netriviální, doplňkové podskupiny rozdělují skupinu na menší části.

Existence

Jak již bylo zmíněno, doplňky nemusí existovat.

A p-doplněk je doplňkem k Sylow p- podskupina. Věty o Frobenius a Thompson popište, kdy má skupina a normální p-doplněk. Philip Hall charakterizovaný konečný rozpustný skupiny mezi konečnými skupinami jako ty s p- doplňky pro všechny prime p; tyto p- doplňky se používají k vytvoření toho, co se nazývá a Systém Sylow.

A Frobenius doplněk je speciální typ doplňku v a Skupina Frobenius.

A doplněná skupina je jedna, kde má každá podskupina doplněk.

Viz také

• Produkt skupinových podmnožin

Reference

• David S. Dummit a Richard M. Foote (2003). Abstraktní algebra. Wiley. ISBN  978-0-471-43334-7.
• I. Martin Isaacs (2008). Teorie konečné skupiny. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-4344-4.

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.