Hilbertova řada a Hilbertův polynom - Hilbert series and Hilbert polynomial
v komutativní algebra, Hilbertova funkce, Hilbertův polynoma Hilbertova řada a odstupňovaná komutativní algebra definitivně generováno přes a pole jsou tři silně příbuzné pojmy, které měří růst dimenze homogenních složek algebry.
Tyto pojmy byly rozšířeny na filtrované algebry a tříděno nebo filtrováno moduly přes tyto algebry, stejně jako koherentní snopy přes projektivní schémata.
Typické situace, kdy se tyto pojmy používají, jsou následující:
- Kvocient homogenní ideál a vícerozměrný polynom prsten, odstupňované podle celkového stupně.
- Kvocient ideálu vícerozměrného polynomiálního kruhu filtrovaného podle celkového stupně.
- Filtrace a místní prsten pravomocí jeho maximální ideál. V tomto případě se Hilbertův polynom nazývá Hilbert – Samuelův polynom.
The Hilbert řada algebry nebo modulu je zvláštním případem Série Hilbert – Poincaré a odstupňovaný vektorový prostor.
Hilbertův polynom a Hilbertova řada jsou důležité ve výpočtech algebraická geometrie, protože jsou nejsnazším známým způsobem výpočtu dimenze a stupně algebraické rozmanitosti definované explicitními polynomiálními rovnicemi. Kromě toho poskytují užitečné invarianty pro rodiny algebraických odrůd, protože jsou ploché rodiny má stejný Hilbertův polynom nad jakýmkoli uzavřeným bodem . To se používá při stavbě Hilbertovo schéma a Schéma nabídky.
Definice a hlavní vlastnosti
Zvažte konečně vygenerovaný odstupňovaná komutativní algebra S přes pole K., který je definitivně generován prvky kladného stupně. Tohle znamená tamto
a to .
Hilbertova funkce
mapuje celé číslo n do dimenze K.-vektorový prostor Sn. Série Hilbert, která se nazývá Série Hilbert – Poincaré v obecnějším nastavení odstupňovaných vektorových prostorů je formální série
Li S generuje h homogenní prvky kladných stupňů , pak součet Hilbertovy řady je racionální zlomek
kde Q je polynom s celočíselnými koeficienty.
Li S je generováno prvky stupně 1, pak může být součet Hilbertovy řady přepsán jako
kde P je polynom s celočíselnými koeficienty a je Dimenze Krull z S.
V tomto případě je sériové rozšíření této racionální frakce
kde
je binomický koeficient pro a jinak je 0.
Li
koeficient v je tedy
Pro termín indexu i v tomto součtu je polynom v n stupně s předstihovým koeficientem To ukazuje, že existuje jedinečný polynom s racionálními koeficienty, které se rovnají pro n dostatečně velký. Tento polynom je Hilbertův polynom, a má formu
Nejméně n0 takhle pro n ≥ n0 se nazývá Hilbertova pravidelnost. Může být nižší než .
Hilbertův polynom je a numerický polynom, protože rozměry jsou celá čísla, ale polynom téměř nikdy nemá celočíselné koeficienty (Schenck 2003, s. 41).
Všechny tyto definice lze rozšířit na definitivně generované odstupňované moduly přes S, s jediným rozdílem, který je faktorem tm se objeví v seriálu Hilbert, kde m je minimální stupeň generátorů modulu, který může být záporný.
The Hilbertova funkce, Hilbertova řada a Hilbertův polynom a filtrovaná algebra jsou ti z přidružené odstupňované algebry.
Hilbertův polynom a projektivní rozmanitost PROTI v Pn je definován jako Hilbertův polynom z homogenní souřadnicový kruh z PROTI.
Odstupňovaná algebra a polynomické kruhy
Polynomiální prstence a jejich kvocienty podle homogenních ideálů jsou typické odstupňované algebry. Naopak, pokud S je odstupňovaná algebra generovaná nad polem K. podle n homogenní prvky G1, ..., Gn stupně 1, pak mapa, která odešle Xi na Gi definuje homomorfismus odstupňovaných prstenů z na S. Své jádro je homogenní ideál Já a to definuje izomorfismus odstupňované algebry mezi a S.
Tudíž odstupňované algebry generované prvky stupně 1 jsou přesně, až do izomorfismu, kvocienty polynomiálních kruhů podle homogenních ideálů. Proto bude zbytek tohoto článku omezen na kvocienty polynomiálních kruhů podle ideálů.
Vlastnosti řady Hilbert
Aditivita
Hilbertova řada a Hilbertův polynom jsou relativně aditivní přesné sekvence. Přesněji řečeno, pokud
je přesná sekvence odstupňovaných nebo filtrovaných modulů, pak máme
a
To vyplývá okamžitě ze stejné vlastnosti pro dimenzi vektorových prostorů.
Kvocient nenulovým dělitelem
Nechat A být klasifikovanou algebrou a F homogenní prvek stupně d v A což není a nulový dělitel. Pak máme
Vyplývá to z aditivity na přesnou sekvenci
kde je označena šipka F je násobení F, a je klasifikovaný modul, který je získán z A posunutím stupňů o d, aby násobení F má stupeň 0. Z toho vyplývá, že
Hilbertova řada a Hilbertův polynom polynomiálního kruhu
Hilbertova řada polynomiálního kruhu v neurčitý je
Z toho vyplývá, že Hilbertův polynom je
Důkaz, že Hilbertova řada má tuto jednoduchou formu, je získán rekurzivním použitím předchozího vzorce pro kvocient nenulovým dělitelem (zde ) a poznamenal to
Tvar Hilbertovy řady a rozměr
Odstupňovaná algebra A generované homogenními prvky stupně 1 má Dimenze Krull nula, pokud maximální homogenní ideál, tj. ideál generovaný homogenními prvky stupně 1, je nilpotentní. To znamená, že rozměr A jako K.-vektorový prostor je konečný a Hilbertova řada A je polynom P(t) takhle P(1) se rovná dimenzi A jako K.-vektorový prostor.
Pokud je Krullův rozměr A je pozitivní, existuje homogenní prvek F prvního stupně, který není nulovým dělitelem (ve skutečnosti téměř všechny prvky prvního stupně mají tuto vlastnost). Krullův rozměr A/(F) je Krullův rozměr A minus jedna.
Ukazuje to aditivita Hilbertovy řady . Iterace to několikrát odpovídá Krull dimenzi A, dostaneme nakonec algebru dimenze 0, jejíž Hilbertova řada je polynom P(t). To ukazuje, že Hilbertova série A je
kde polynom P(t) je takový P(1) ≠ 0 a d je Krullův rozměr A.
Tento vzorec pro Hilbertovu řadu naznačuje, že stupeň Hilbertova polynomu je da že jeho hlavní koeficient je .
Stupeň projektivní rozmanitosti a Bézoutova věta
Série Hilbert nám umožňuje vypočítat stupeň algebraické odrůdy jako hodnota v 1 čitatele řady Hilbert. To poskytuje také poměrně jednoduchý důkaz Bézoutova věta.
Pro zobrazení vztahu mezi stupněm a projektivní algebraická množina a Hilbertova řada, zvažte projektivní algebraickou množinu PROTI, definovaný jako množina nul a homogenní ideál , kde k je pole, a nechť být prstenem běžné funkce na algebraické množině.
V této části nepotřebujeme neredukovatelnost algebraických množin ani primitivnost ideálů. Protože Hilbertova řada se nemění rozšířením pole koeficientů, pole také k se předpokládá, že bez ztráty obecnosti bude algebraicky uzavřeno.
Dimenze d z PROTI se rovná Dimenze Krull minus jeden z Ra stupeň PROTI je počet průsečíků, počítaný s multiplicitou, z PROTI s křižovatkou hyperplány v obecná pozice. To znamená existenci v R, a pravidelná sekvence z d + 1 homogenní polynomy stupně jedna. Definice pravidelné posloupnosti implikuje existenci přesných posloupností
pro To z toho vyplývá
kde je čitatel Hilbertovy řady R.
Prsten má Krull dimenzi jedna a je prstenem pravidelných funkcí projektivní algebraické množiny dimenze 0 skládající se z konečného počtu bodů, což může být více bodů. Tak jako patří do pravidelné posloupnosti, žádný z těchto bodů nepatří do nadroviny rovnice Doplněk této hyperplánu je afinní prostor který obsahuje To dělá an afinní algebraická množina, který má jako kruh pravidelných funkcí. Lineární polynom není nulovým dělitelem v a jeden má tedy přesnou sekvenci
což z toho vyplývá
Zde používáme Hilbertova řada filtrovaných algeber a skutečnost, že Hilbertova řada gradované algebry je také její Hilbertovou řadou jako filtrovanou algebrou.
Tím pádem je Artinian prsten, což je k-vektorový prostor dimenze P(1), a Jordan – Hölderova věta lze použít k prokázání toho P(1) je stupeň algebraické množiny PROTI. Ve skutečnosti je multiplicita bodu počet výskytů odpovídajícího maximálního ideálu v a kompoziční série.
K prokázání Bézoutovy věty lze postupovat podobně. Li je homogenní polynom stupně , což není nulový dělitel v R, přesná sekvence
ukázat to
Při pohledu na čitatele to dokazuje následující zobecnění Bézoutovy věty:
- Teorém - Pokud F je homogenní polynom stupně , což není nulový dělitel v R, pak stupeň průniku PROTI s hyperpovrchem definovaným je součinem stupně PROTI podle
Ve více geometrickém tvaru to může vypadat takto:
- Teorém - Pokud je projektivní hyperplocha stupně d neobsahuje žádné neredukovatelná složka algebraické množiny stupňů δ, pak je stupeň jejich průniku dδ.
Obvyklou Bézoutovu větu lze snadno odvodit tak, že vycházíme z hyperplochy a protínáme ji s n − 1 další hyperplochy, jeden po druhém.
Úplná křižovatka
Projektivní algebraická množina je a úplná křižovatka pokud je jeho definující ideál generován a pravidelná sekvence. V tomto případě existuje jednoduchý explicitní vzorec pro řadu Hilbert.
Nechat být k homogenní polynomy v , příslušných stupňů Nastavení jeden má následující přesné sekvence
Aditivita Hilbertovy řady tedy naznačuje
Jednoduchá rekurze dává
To ukazuje, že úplná křižovatka je definována pravidelnou posloupností k polynomials má codimension of k, a že jeho stupeň je součinem stupňů polynomů v sekvenci.
Vztah s volnými rozlišeními
Každý klasifikovaný modul M přes známku pravidelné zvonění R má známku bezplatné rozlišení, což znamená, že existuje přesná sekvence
Kde jsou odstupňovány bezplatné moduly a šipky jsou odstupňované lineární mapy stupně nula.
To naznačuje aditivita Hilbertovy řady
Li je polynomický kruh, a pokud někdo zná stupně základních prvků z potom vzorce z předchozích částí umožňují odvodit z Ve skutečnosti z těchto vzorců vyplývá, že pokud jde o odstupňovaný bezplatný modul L má základ h homogenní prvky stupňů pak je jeho Hilbertova řada
Tyto vzorce lze považovat za způsob výpočtu Hilbertovy řady. To je zřídka případ, protože u známých algoritmů začíná výpočet Hilbertovy řady a výpočet volného rozlišení od stejného Gröbnerův základ, ze kterého lze Hilbertovu řadu přímo vypočítat pomocí a výpočetní složitost což není větší než složitost výpočtu volného rozlišení.
Výpočet Hilbertovy řady a Hilbertova polynomu
Hilbertův polynom je snadno odvoditelný ze série Hilberta (viz výše ). Tato část popisuje, jak lze vypočítat Hilbertovu řadu v případě kvocientu polynomiálního kruhu, filtrovaného nebo odstupňovaného podle celkového stupně.
Tak nechte K. pole, být polynomický kruh a Já být ideální v R. Nechat H být homogenním ideálem generovaným homogenními částmi nejvyššího stupně prvků Já. Li Já je tedy homogenní H=Já. Nakonec nechte B být Gröbnerův základ z Já pro monomiální objednávání rafinace celkový stupeň částečné objednání a G (homogenní) ideál generovaný předními monomiálními prvky prvku B.
Výpočet Hilbertovy řady je založen na tom, že filtrovaná algebra R / I a odstupňované algebry R / H a R / G mají stejnou řadu Hilbert.
Výpočet Hilbertovy řady se tak redukuje pomocí výpočtu Gröbnerovy báze na stejný problém pro ideál generovaný monomiemi, který je obvykle mnohem jednodušší než výpočet Gröbnerovy báze. The výpočetní složitost celého výpočtu závisí hlavně na pravidelnosti, což je míra čitatele Hilbertovy řady. Ve skutečnosti lze Gröbnerův základ vypočítat lineární algebrou přes polynomy stupně ohraničené pravidelností.
Výpočet Hilbertovy řady a Hilbertovy polynomy jsou k dispozici ve většině systémy počítačové algebry. Například v obou Javor a Magma tyto funkce jsou pojmenovány HilbertSérie a HilbertPolynomiální.
Zobecnění na koherentní snopy
v algebraická geometrie, vytvářejí odstupňované prstence generované prvky stupně 1 projektivní schémata podle Stavba projektu zatímco konečně generované odstupňované moduly odpovídají koherentním svazkům. Li je souvislý svazek přes projektivní schéma X, definujeme Hilbertův polynom jako funkce , kde χ je Eulerova charakteristika koherentního svazku a A Serre twist. Eulerova charakteristika je v tomto případě dobře definované číslo o Grothendieckova věta o konečnosti.
Tato funkce je skutečně polynom.[1] Pro velké m souhlasí s dim podle Serreova mizející věta. Li M je definitivně generovaný odstupňovaný modul a související koherentní svazek dvou definic Hilbertova polynomu souhlasí.
Odstupňovaná bezplatná rozlišení
Vzhledem k tomu, kategorie koherentních svazků na projektivní rozmanitost je ekvivalentní kategorii odstupňovaných modulů modulo konečný počet odstupňovaných kusů, můžeme použít výsledky v předchozí části ke konstrukci Hilbertových polynomů koherentních svazků. Například úplná křižovatka více stupňů má rozlišení
Viz také
Reference
- ^ Ravi Vakil (2015). Základy algebraické geometrie (PDF)., Věta 18.6.1
- Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra. S pohledem na algebraickou geometrii, Postgraduální texty z matematiky, 150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, PAN 1322960.
- Schenck, Hal (2003), Výpočetní algebraická geometrie, Cambridge: Cambridge University Press, CiteSeerX 10.1.1.57.7472, ISBN 978-0-521-53650-9, PAN 0011360
- Stanley, Richard (1978), „Hilbertovy funkce odstupňovaných algeber“, Pokroky v matematice, 28 (1), s. 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, PAN 0485835.