Nilpotentní ideální - Nilpotent ideal

v matematika, konkrétněji teorie prstenů, an ideál Já a prsten R se říká, že je nilpotentní ideální pokud existuje přirozené číslo k takhle Já k = 0.[1] Podle Já k, myslí se tím přísada podskupina generované soubor všech produktů k prvky v Já.[1] Proto, Já je nilpotentní právě tehdy, pokud existuje přirozené číslo k takovým, že produktem jakéhokoli k prvky Já je 0.

Pojem nilpotentní ideál je mnohem silnější než pojem a žádný ideální v mnoha třídy prstenů. Existují však případy, kdy se tyto dva pojmy shodují - příkladem toho je Levitzkyho věta.[2][3] Představa nilpotentního ideálu, i když zajímavá pro případ komutativní prsteny, je nejzajímavější v případě nekomutativní prsteny.

Vztah k nulovým ideálům

Pojem nulový ideál má hlubokou souvislost s pojmem nilpotentní ideál a v některých třídách prstenů se tyto dva pojmy shodují. Pokud je ideál nilpotentní, je samozřejmě nulový, ale žádný ideální nemusí být nilpotentní z více než jednoho důvodu. Prvním je, že nemusí existovat globální horní hranice exponentu požadovaného ke zničení různých prvků nulového ideálu, a za druhé, každý prvek, který je nilpotentní, nenutí produkty různých prvků zmizet.[1]

V právu Artinian prsten, jakýkoli nulový ideál je nilpotentní.[4] To dokazuje pozorování, že jakýkoli nulový ideál je obsažen v Jacobson radikální prstenu, a protože Jacobsonův radikál je nilpotentním ideálem (díky Artinianově hypotéze), následuje výsledek. Ve skutečnosti to lze zobecnit doprava Noetherian prsteny; tento výsledek je znám jako Levitzkyho věta.[3]

Viz také

Poznámky

  1. ^ A b C Isaacs 1993, str. 194.
  2. ^ Isaacs, Věta 14.38, s. 210
  3. ^ A b Herstein 1968, Věta 1.4.5, s. 37.
  4. ^ Isaacs, Dodatek 14.3, s. 195

Reference

  • V. Herstein (1968). Nezávazné prsteny (1. vyd.). Matematická asociace Ameriky. ISBN  0-88385-015-X.
  • I. Martin Isaacs (1993). Algebra, postgraduální kurz (1. vyd.). Nakladatelství Brooks / Cole. ISBN  0-534-19002-2.