Funkce Hilbert – Samuel - Hilbert–Samuel function

v komutativní algebra the Funkce Hilbert – Samuel, pojmenoval podle David Hilbert a Pierre Samuel,^[1] nenulového konečně vygenerovaného modul ${ displaystyle M}$ přes komutativní Noetherian místní prsten ${ displaystyle A}$ a a primární ideál ${ displaystyle I}$ z ${ displaystyle A}$ je mapa ${ displaystyle chi _ {M} ^ {I}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n in mathbb {N}}$,

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n) = ell (M / I ^ {n} M)}$

kde ${ displaystyle ell}$ označuje délka přes ${ displaystyle A}$. Souvisí to s Hilbertova funkce z přidružený odstupňovaný modul ${ displaystyle operatorname {gr} _ {I} (M)}$ podle identity

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n) = součet _ {i = 0} ^ {n} H ( operatorname {gr} _ {I} (M), i).}$

Pro dostatečně velké ${ displaystyle n}$, shoduje se s polynomiální funkcí stupně rovnou ${ displaystyle dim ( operatorname {gr} _ {I} (M))}$, často nazývaný Hilbert-Samuelův polynom (nebo Hilbertův polynom ).^[2]

Příklady

Pro prsten z formální mocenské řady ve dvou proměnných ${ displaystyle k [[x, y]]}$ bráno jako modul nad sebou a ideál ${ displaystyle I}$ generované monomials X² a y³ my máme

${ displaystyle chi (1) = 6, quad chi (2) = 18, quad chi (3) = 36, quad chi (4) = 60, { text {a obecně}} chi (n) = 3n (n + 1) { text {pro}} n geq 0.}$^[2]

Hranice titulu

Na rozdíl od funkce Hilberta není funkce Hilbert – Samuel aditivní v přesné sekvenci. Stále je to však přiměřeně blízko k tomu, že je aditivní v důsledku Artin – Reesovo lemma. Označujeme ${ displaystyle P_ {I, M}}$ Hilbert-Samuelův polynom; tj. shoduje se s funkcí Hilberta – Samuela pro velká celá čísla.

Důkaz: Tenzorování dané přesné sekvence pomocí ${ displaystyle R / I ^ {n}}$ a výpočet jádra získáme přesnou sekvenci:

${ displaystyle 0 to (I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M' do M '/ I ^ {n} M' do M / I ^ {n} M to M '' / I ^ {n} M '' na 0,}$

což nám dává:

${ displaystyle chi _ {M} ^ {I} (n-1) = chi _ {M '} ^ {I} (n-1) + chi _ {M'}} ^ {I} (n -1) - ell ((I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M')}$.

Třetí výraz vpravo může odhadnout Artin-Rees. Ve skutečnosti, podle lemmatu, pro velké n a nějaký k,

${ displaystyle I ^ {n} M cap M '= I ^ {n-k} ((I ^ {k} M) cap M') podmnožina I ^ {n-k} M '.}$

Tím pádem,

${ displaystyle ell ((I ^ {n} M cap M ') / I ^ {n} M') leq chi _ {M '} ^ {I} (n-1) - chi _ { M '} ^ {I} (nk-1)}$.

To dává požadovaný stupeň vázán.

Násobnost

Li ${ displaystyle A}$ je místní kruh dimenze Krull ${ displaystyle d}$, s ${ displaystyle m}$-primární ideál ${ displaystyle I}$, jeho Hilbertův polynom má vedoucí člen formy ${ displaystyle { frac {e} {d!}} cdot n ^ {d}}$ pro celé číslo ${ displaystyle e}$. Toto celé číslo ${ displaystyle e}$ se nazývá multiplicita ideálu ${ displaystyle I}$. Když ${ displaystyle I = m}$ je maximálním ideálem ${ displaystyle A}$, jeden také říká ${ displaystyle e}$ je multiplicita místního kruhu ${ displaystyle A}$.

Násobnost bodu ${ displaystyle x}$ systému ${ displaystyle X}$ je definována jako multiplicita odpovídajícího místního kruhu ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$.

Viz také

• j-multiplicita

Reference