Hartogssova věta o rozšíření - Hartogss extension theorem - Wikipedia

V matematice, přesně v teorii funkcí několik složitých proměnných, Hartogsova věta o rozšíření je prohlášení o singularity z holomorfní funkce několika proměnných. Neformálně uvádí, že Podpěra, podpora singularit těchto funkcí nemůže být kompaktní, proto musí singulární množina funkce několika komplexních proměnných (volně řečeno) „jít do nekonečna“ v určitém směru. Přesněji ukazuje, že izolovaná singularita je vždy odnímatelná singularita pro všechny analytická funkce z $n > 1$ komplexní proměnné. První verzi této věty prokázal Friedrich Hartogs,^[1] a jako taková je známá také jako Hartogsovo lemma a Hartogsův princip: dříve sovětský literatura,^[2] také se tomu říká Osgood – Brownova větas potvrzením pozdější práce od Arthur Barton Brown a William Fogg Osgood.^[3] Tato vlastnost holomorfních funkcí několika proměnných se také nazývá Hartogsův fenomén: nicméně, locution "Hartogsův fenomén" se také používá k identifikaci vlastnosti řešení systémy z parciální diferenciál nebo konvoluční rovnice uspokojující věty Hartogsova typu.^[4]

Historická poznámka

Původní důkaz poskytl Friedrich Hartogs v roce 1906, použití Cauchyho integrální vzorec pro funkce několik složitých proměnných.^[1] Dnes se obvyklé důkazy spoléhají buď na Bochner – Martinelli – Koppelmanův vzorec nebo řešení nehomogenního Cauchy – Riemannovy rovnice s kompaktní podporou. Druhý přístup je způsoben Leon Ehrenpreis kdo to v příspěvku inicioval (Ehrenpreis 1961 ). Ještě další velmi jednoduchý důkaz tohoto výsledku poskytl Gaetano Fichera v novinách (Fichera 1957 ), pomocí jeho řešení Dirichletův problém pro holomorfní funkce několika proměnných a související koncept Funkce CR:^[5] později rozšířil teorém na určitou třídu operátory částečných diferenciálů v novinách (Fichera 1983 ) a jeho myšlenky byly později dále prozkoumány Giulianem Brattim.^[6] Také japonská škola teorie operátory částečných diferenciálů hodně pracoval na tomto tématu s významnými příspěvky Akiry Kaneko.^[7] Jejich přístup je použít Ehrenpreisův základní princip.

Hartogsův fenomén

Jev, který platí v několika proměnných, ale nedrží v jedné proměnné, se nazývá Hartogsův fenomén, které vedly k pojetí této Hartogsovy věty o rozšíření a doména holomorfie, proto teorie několika komplexních proměnných.

Například ve dvou proměnných zvažte doménu interiéru

{ displaystyle H _ { varepsilon} = {z = (z_ {1}, z_ {2}) v Delta ^ {2}: | z_ {1} | < varepsilon { text {nebo} } 1- varepsilon <| z_ {2} | }}

na dvourozměrném polydisku ${ displaystyle Delta ^ {2} = {z v mathbb {C} ^ {2}; | z_ {1} | <1, | z_ {2} | <1 }}$ kde ${ displaystyle 0 < varepsilon <1}$ .

Teorém Hartogy (1906): jakékoli holomorfní funkce ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle H _ { varepsilon}}$ analyticky pokračují ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ . Jmenovitě existuje holomorfní funkce ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ takhle ${ displaystyle F = f}$ na ${ displaystyle H _ { varepsilon}}$ .

Ve skutečnosti pomocí Cauchyho integrální vzorec získáme rozšířenou funkci ${ displaystyle F}$ . Všechny holomorfní funkce analyticky pokračují na polydisk, který je přísně větší než doména, na které je definována původní holomorfní funkce. Takové jevy se nikdy nestanou v případě jedné proměnné.

Formální prohlášení

Nechat

F

být holomorfní funkce na soubor

G \ K.

, kde

G

je otevřená podmnožina

C n

(

n \geq 2

) a

K.

je kompaktní podmnožina

G

. Pokud doplněk

G \ K.

je tedy připojen

F

lze rozšířit na jedinečnou holomorfní funkci na

G

.

Protipříklady v dimenzi jedna

Věta neplatí, když $n = 1$ . Chcete-li to vidět, stačí zvážit funkci $F (z) = z -1$ , který je jasně holomorfní $C \ {0},$ ale nelze pokračovat jako holomorfní funkce jako celek $C$ . Hartogsův fenomén je proto elementárním jevem, který zdůrazňuje rozdíl mezi teorií funkcí jedné a několika komplexních proměnných.

Poznámky

^ ^A ^b Viz původní papír z Hartogy (1906) a jeho popis v různých historických průzkumech Osgood (1963, s. 56–59), Severi (1958 111–115) a Struppa (1988, s. 132–134). Zejména v této poslední referenci na str. 132, autor výslovně píše: - "Jak je uvedeno v názvu (Hartogs 1906 ), a jak čtenář brzy uvidí, klíčovým nástrojem v důkazu je Cauchyho integrální vzorec ".
^ Viz například Vladimirov (1966, str. 153), který odkazuje čtenáře na knihu Fuks (1963, str. 284) pro důkaz (v předchozím odkazu je však nesprávně uvedeno, že důkaz je na straně 324).
^ Vidět Brown (1936) a Osgood (1929).
^ Vidět Fichera (1983) a Bratti (1986a) (Bratti 1986b ).
^ Ficherův profesor i jeho epocha (Fichera 1957 ) se zdá být přehlédnut mnoha odborníky z teorie funkcí několika komplexních proměnných: viz Rozsah (2002) pro správné přiřazení mnoha důležitých vět v této oblasti.
^ Vidět Bratti (1986a) (Bratti 1986b ).
^ Podívejte se na jeho papír (Kaneko 1973 ) a odkazy v nich uvedené.

Reference

Historické odkazy

Fuks, B. A. (1963), Úvod do teorie analytických funkcí několika komplexních proměnných Překlady matematických monografií, 8, Providence, RI: Americká matematická společnost, str. vi + 374, ISBN 9780821886441, PAN 0168793, Zbl 0138.30902.
Osgood, William Fogg (1966) [1913], Témata v teorii funkcí několika komplexních proměnných (nezkrácené a opravené vydání), New York: Doveru, str. IV + 120, JFM 45.0661.02, PAN 0201668, Zbl 0138.30901.
Range, R. Michael (2002), „Expanzní jevy v multidimenzionální komplexní analýze: oprava historického záznamu“, Matematický zpravodaj, 24 (2): 4–12, doi:10.1007 / BF03024609, PAN 1907191. Historický dokument opravující některé nepřesné historické výroky v teorii holomorfní funkce několika proměnných, zejména pokud jde o příspěvky Gaetano Fichera a Francesco Severi.
Severi, Francesco (1931), „Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche“, Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, série 6 (v italštině), 13: 795–804, JFM 57.0393.01, Zbl 0002.34202. Toto je první práce, kde je obecné řešení Dirichletův problém pro pluriharmonické funkce je uveden obecně skutečná analytická data na skutečné analytice nadpovrch. Překlad názvu zní: - "Řešení obecného Dirichletova problému pro biharmonické funkce".
Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (v italštině), Padova: CEDAM - Casa Editrice Dott. Antonio Milani, Zbl 0094.28002. Překlad názvu je: - "Přednášky o analytických funkcích několika komplexních proměnných - přednáška v letech 1956–57 na Istituto Nazionale di Alta Matematica v ŘíměTato kniha se skládá z poznámek z přednášky z kurzu pořádaného Francescem Severim v Istituto Nazionale di Alta Matematica (který v současné době nese jeho jméno) a obsahuje přílohy Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza a Mario Benedicty.
Struppa, Daniele C. (1988), „Prvních osmdesát let Hartogsovy věty“, Seminari di Geometria 1987–1988, Bologna: Università degli Studi di Bologna - Dipartimento di Matematica, s. 127–209, PAN 0973699, Zbl 0657.35018.
Vladimirov, V. S. (1966), Ehrenpreis, L. (vyd.), Metody teorie funkcí několika komplexních proměnných. S předmluvou N.N. Bogolyubov, Cambridge -Londýn: The M.I.T. lis, str. XII + 353, PAN 0201669, Zbl 0125.31904 (Zentralblatt přezkoumání originálu ruština edice). Jedna z prvních moderních monografií o teorii několik složitých proměnných se liší od ostatních ve stejném období z důvodu rozsáhlého používání zobecněné funkce.

Vědecké odkazy

Bochner, Salomon (Říjen 1943), „Analytické a meromorfní pokračování pomocí Greenova vzorce“, Annals of Mathematics, Druhá série, 44 (4): 652–673, doi:10.2307/1969103, JSTOR 1969103, PAN 0009206, Zbl 0060.24206.
Bochner, Salomon (1. března 1952), „Parciální diferenciální rovnice a analytická pokračování“, PNAS, 38 (3): 227–230, Bibcode:1952PNAS ... 38..227B, doi:10.1073 / pnas.38.3.227, PAN 0050119, PMC 1063536, PMID 16589083, Zbl 0046.09902.
Bratti, Giuliano (1986a), „A proposito di un esempio di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs“ [O příkladu Fichery týkajícího se Hartogsova fenoménu], Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL, řada 5 (v italštině a angličtině), X (1): 241–246, PAN 0879111, Zbl 0646.35007, archivovány z originál dne 26. 7. 2011
Bratti, Giuliano (1986b), „Estensione di un teorema di Fichera relativo al fenomeno di Hartogs per sistemi differentenziali a coefficenti costanti“ [Rozšíření Ficherovy věty pro systémy P.D.E. s konstantními koeficienty, týkající se Hartogsova fenoménu], Rendiconti della Accademia Nazionale delle Scienze Detta dei XL, řada 5 (v italštině a angličtině), X (1): 255–259, PAN 0879114, Zbl 0646.35008, archivovány z originál dne 26. 7. 2011
Bratti, Giuliano (1988), „Su di un teorema di Hartogs“ [O Hartogově větě], Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova (v italštině), 79: 59–70, PAN 0964020, Zbl 0657.46033
Brown, Arthur B. (1936), „O určitých analytických pokračováních a analytických homeomorfizmech“, Duke Mathematical Journal, 2: 20–28, doi:10.1215 / S0012-7094-36-00203-X, JFM 62.0396.02, PAN 1545903, Zbl 0013.40701
Ehrenpreis, Leon (1961), „Nový důkaz a rozšíření Hartogovy věty“, Bulletin of the American Mathematical Society, 67 (5): 507–509, doi:10.1090 / S0002-9904-1961-10661-7, PAN 0131663, Zbl 0099.07801. Základní článek v teorii Hartogsova fenoménu. Typografická chyba v názvu je reprodukována tak, jak se objevuje v původní verzi příspěvku.
Fichera, Gaetano (1957), „Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più variabili complesse“, Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, řada 8 (v italštině), 22 (6): 706–715, PAN 0093597, Zbl 0106.05202. Epochální papír v teorii CR funkce, kde je Dirichletův problém analytické funkce několika složitých proměnných je řešen pro obecná data. Překlad názvu zní: - "Charakterizace stopy analytické funkce několika složitých proměnných na hranici domény".
Fichera, Gaetano (1983), „Sul fenomeno di Hartogs per gli operatori lineari alle derivate parziali“, Rendiconti Dell 'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Scienze Matemàtiche e Applicazioni, řada A. (v italštině), 117: 199–211, PAN 0848259, Zbl 0603.35013. Anglický překlad názvu zní: - "Hartogsův jev pro určité lineární parciální diferenciální operátory".
Fueter, Rudolf (1939–1940), „Über einen Hartogs'schen Satz“ [O Hartogově větě], Commentarii Mathematici Helvetici (v němčině), 12 (1): 75–80, doi:10.1007 / bf01620640, JFM 65.0363.03, Zbl 0022.05802, archivovány z originál dne 02.10.2011, vyvoláno 2011-01-16. K dispozici na Portál SEALS.
Fueter, Rudolf (1941–1942), „Über einen Hartogs'schen Satz in der Theorie der analytischen Funktionen von $n$ komplexen Variablen " [K Hartogově teorii v teorii analytických funkcí $n$ komplexní proměnné], Commentarii Mathematici Helvetici (v němčině), 14 (1): 394–400, doi:10.1007 / bf02565627, JFM 68.0175.02, PAN 0007445, Zbl 0027.05703, archivovány z originál dne 02.10.2011, vyvoláno 2011-01-16 (viz také Zbl 0060.24505, kumulativní recenze několika článků E. Trosta). K dispozici na Portál SEALS.
Hartogs, Fritz (1906), „Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Funktionen mehrerer Veränderlichen.“, Sitzungsberichte der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München, Mathematisch-Physikalische Klasse (v němčině), 36: 223–242, JFM 37.0443.01.
Hartogs, Fritz (1906a), „Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten“, Mathematische Annalen (v němčině), 62: 1–88, doi:10.1007 / BF01448415, JFM 37.0444.01. K dispozici na DigiZeitschriften.
Hörmander, Larsi (1990) [1966], Úvod do komplexní analýzy v několika proměnnýchMatematická knihovna v Severním Holandsku, 7 (3. (revidované) vydání), Amsterdam – Londýn – New York – Tokio: Severní Holandsko, ISBN 0-444-88446-7, PAN 1045639, Zbl 0685.32001.
Kaneko, Akira (12. ledna 1973), „O pokračování pravidelného řešení parciálních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty“, Sborník Japonské akademie, 49 (1): 17–19, doi:10,3792 / pja / 1195519488, PAN 0412578, Zbl 0265.35008, Dostupné v Projekt Euclid.
Martinelli, Enzo (1942–1943), „Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs“ [Na důkaz R. Fuetera o Hartogsově teorémě], Commentarii Mathematici Helvetici (v italštině), 15 (1): 340–349, doi:10.1007 / bf02565649, PAN 0010729, Zbl 0028.15201, archivovány z originál dne 02.10.2011, vyvoláno 2011-01-16. K dispozici na Portál SEALS.
Osgood, W. F. (1929), Lehrbuch der Funktionentheorie. II, Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiet der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen (v němčině), Bd. XX - 1 (2. vyd.), Lipsko: B. G. Teubner, str. VIII + 307, ISBN 9780828401821, JFM 55.0171.02.
Severi, Francesco (1932), „Una proprietà fondamentale dei campi di olomorfismo di una funzione analitica di una variabile reale e di una variabile complessa“, Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, série 6 (v italštině), 15: 487–490, JFM 58.0352.05, Zbl 0004.40702. Anglický překlad názvu zní: - "Základní vlastnost domény holomorfie analytické funkce jedné reálné proměnné a jedné komplexní proměnné".
Severi, Francesco (1942–1943), „A proposito d'un teorema di Hartogs“ [O Hartogsově teorémě], Commentarii Mathematici Helvetici (v italštině), 15 (1): 350–352, doi:10.1007 / bf02565650, PAN 0010730, Zbl 0028.15301, archivovány z originál dne 02.10.2011, vyvoláno 2011-06-25. K dispozici na Portál SEALS.

externí odkazy

Chirka, E. M. (2001) [1994], „Hartogsova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
„Selhání Hartogsovy věty v jedné dimenzi (protipříklad)“. PlanetMath.
Hartogsova věta na PlanetMath.
„Důkaz Hartogsovy věty“. PlanetMath.

[hartogs-1] A ^b Viz původní papír z Hartogy (1906) a jeho popis v různých historických průzkumech Osgood (1963, s. 56–59), Severi (1958 111–115) a Struppa (1988, s. 132–134). Zejména v této poslední referenci na str. 132, autor výslovně píše: - "Jak je uvedeno v názvu (Hartogs 1906 ), a jak čtenář brzy uvidí, klíčovým nástrojem v důkazu je Cauchyho integrální vzorec ".

[2] Viz například Vladimirov (1966, str. 153), který odkazuje čtenáře na knihu Fuks (1963, str. 284) pro důkaz (v předchozím odkazu je však nesprávně uvedeno, že důkaz je na straně 324).

[3] Vidět Brown (1936) a Osgood (1929).

[4] Vidět Fichera (1983) a Bratti (1986a) (Bratti 1986b ).

[5] Ficherův profesor i jeho epocha (Fichera 1957 ) se zdá být přehlédnut mnoha odborníky z teorie funkcí několika komplexních proměnných: viz Rozsah (2002) pro správné přiřazení mnoha důležitých vět v této oblasti.

[6] Vidět Bratti (1986a) (Bratti 1986b ).

[7] Podívejte se na jeho papír (Kaneko 1973 ) a odkazy v nich uvedené.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]