Gδ prostor - Gδ space

Zejména v matematice topologie, a G_δ prostor je topologický prostor ve kterém uzavřené sady jsou svým způsobem „odděleni“ od svých doplňků pouze pomocí spočítatelně mnoha otevřené sady. A G._δ prostor lze tedy považovat za prostor splňující jiný druh separační axiom. Ve skutečnosti normální G_δ mezery se označují jako naprosto normální prostory, a uspokojit nejsilnější z separační axiomy.

G_δ mezery se také nazývají perfektní prostory.^[1] Termín perfektní se také nekompatibilně používá k označení prostoru bez č izolované body; vidět Perfektní set.

Definice

Spočítatelné průsečík otevřených množin v topologickém prostoru se nazývá a G_δ soubor. Triviálně je každá otevřená sada G_δ soubor. Dvojí, spočitatelné sjednocení uzavřených množin se nazývá F_σ soubor. Triviálně je každá uzavřená sada F_σ soubor.

Topologický prostor X se nazývá a G_δ prostor^[2] pokud každá uzavřená podmnožina X je G._δ soubor. Duální a rovnocenné, a G_δ prostor je prostor, ve kterém je každá otevřená množina F_σ soubor.

Vlastnosti a příklady

Každý podprostor G_δ vesmír je G._δ prostor.
Každý měřitelný prostor je G._δ prostor. Totéž platí pro pseudometrizovatelné prostory.
Každý spočítatelné druhé pravidelný vesmír je G._δ prostor. To vyplývá z Urysohnova metrizační věta v případě Hausdorff, ale lze je snadno zobrazit přímo.^[3]
Každý spočítatelný pravidelný prostor je G_δ prostor.
Každý dědičně Lindelöf běžný prostor je G_δ prostor.^[4] Takové prostory jsou ve skutečnosti naprosto normální. Tím se zevšeobecňují předchozí dvě položky o druhé spočetné a spočetné pravidelné mezery.
A G._δ prostor nemusí být normální, jako R obdařen K-topologie ukazuje. Tento příklad není běžný prostor. Příklady Tychonoff G_δ mezery, které nejsou normální, jsou Sorgenfreyovo letadlo^[5] a Niemytzki letadlo.^[6]
V nejprve spočítatelné T₁ prostor, každý jedináček je G._δ soubor. To nestačí na to, aby byl prostor G_δ prostor, jak ukazuje například lexikografická řádová topologie na jednotkovém čtverci.^[7]
The Sorgenfreyova linie je příklad zcela normálního (tj. normálního G_δ) prostor, který nelze měřit.
The topologický součet ${displaystyle X = {coprod} _ {i} X_ {i}}$ rodiny disjunktních topologických prostorů je G_δ prostor jen a jen pokud každý ${displaystyle X_ {i}}$ je G._δ prostor.

Poznámky

^ Engelking, 1.5.H (a), str. 48
^ Steen & Seebach, str. 162
^ https://math.stackexchange.com/questions/1966730
^ https://arxiv.org/pdf/math/0412558.pdf, lemma 6.1
^ https://dantopology.wordpress.com/2014/05/07/the-sorgenfrey-plane-is-subnormal/
^ https://math.stackexchange.com/questions/2711463
^ https://dantopology.wordpress.com/2009/10/07/the-lexicographic-order-and-the-double-arrow-space/

Reference

Engelking, Ryszard (1989). Obecná topologie. Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Dover Publications dotisk z roku 1978 ed.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, PAN 0507446
Roy A. Johnson (1970). „Kompaktní neměřitelný prostor takový, že každá uzavřená podmnožina je G-Delta“. Americký matematický měsíčník, Sv. 77, č. 2, s. 172–176. na JStoru

[1] Engelking, 1.5.H (a), str. 48

[2] Steen & Seebach, str. 162

[3] ttps://math.stackexchange.com/questions/1966730

[4] ttps://arxiv.org/pdf/math/0412558.pdf, lemma 6.1

[5] ttps://dantopology.wordpress.com/2014/05/07/the-sorgenfrey-plane-is-subnormal/

[6] ttps://math.stackexchange.com/questions/2711463

[7] ttps://dantopology.wordpress.com/2009/10/07/the-lexicographic-order-and-the-double-arrow-space/

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]