Metoda jednotkové figuríny - Unit dummy force method

The Metoda jednotkové figuríny poskytuje vhodný prostředek pro výpočet posunů ve strukturálních systémech. Je použitelná jak pro lineární, tak nelineární chování materiálů, stejně jako pro systémy vystavené vlivům prostředí, a proto je obecnější než Castiglianova druhá věta.

Diskrétní systémy

Zvažte diskrétní systém, jako jsou vazníky, nosníky nebo rámy, jejichž členy jsou v uzlech propojeny. Nechť je dána konzistentní sada deformací prutů ${displaystyle mathbf {q} _ {Více obrázků 1}}$ , které lze vypočítat pomocí vztah flexibility členů. Tyto deformace prutů vedou k uzlovým posunům ${displaystyle mathbf {r} _ {Nové obrázky 1}}$ , které chceme určit.

Začneme přihlášením N virtuální uzlové síly ${displaystyle mathbf {R} _ {Nové obrázky 1} ^ {*}}$ , jeden pro každého chtěl ra najděte síly virtuálních členů ${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*}}$ které jsou v rovnováze s ${displaystyle mathbf {R} _ {Nové obrázky 1} ^ {*}}$ :

{displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*} = mathbf {B} _ {M imes N} mathbf {R} _ {N imes 1} ^ {*} qquad qquad qquad mathrm {(1)} }

V případě staticky neurčitého systému matice B není jedinečný, protože soubor ${displaystyle mathbf {Q} _ {M imes 1} ^ {*}}$ který uspokojuje uzlovou rovnováhu, je nekonečný. Lze jej vypočítat jako inverzi matice nodální rovnováhy jakékoli primární systém odvozené z původního systému.

Představte si, že vnitřní a vnější virtuální síly procházejí skutečnými deformacemi a posuny; virtuální práci lze vyjádřit jako:

Externí virtuální práce: ${displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r}}$
Interní virtuální práce: ${displaystyle mathbf {Q} ^ {* T} mathbf {q}}$

Podle virtuální práce v zásadě jsou dva pracovní výrazy stejné:

{displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r} = mathbf {Q} ^ {* T} mathbf {q}}

Nahrazení (1) dává

{displaystyle mathbf {R} ^ {* T} mathbf {r} = mathbf {R} ^ {* T} mathbf {B} ^ {T} mathbf {q}}

Od té doby ${displaystyle mathbf {R} ^ {*}}$ obsahuje libovolné virtuální síly, které dává výše uvedená rovnice

{displaystyle mathbf {r} = mathbf {B} ^ {T} mathbf {q} qquad qquad qquad mathrm {(2)}}

Je pozoruhodné, že výpočet v bodě (2) nezahrnuje žádnou integraci bez ohledu na složitost systémů a že výsledek je jedinečný bez ohledu na výběr primárního systému pro B. Je to tedy mnohem pohodlnější a obecnější než klasická forma metody fiktivní jednotkové zátěže, která se liší podle typu systému i uložených vnějších účinků. Na druhou stranu je důležité si uvědomit, že rovnice (2) slouží pouze k výpočtu posunů nebo rotací uzlů. Nejedná se o omezení, protože v případě potřeby můžeme do uzlu vytvořit libovolný bod.

Nakonec jméno jednotkové zatížení vyplývá z výkladu, že koeficienty ${displaystyle B_ {i, j}}$ v matici B jsou členské síly v rovnováze s jednotkovou uzlovou silou ${displaystyle R_ {j} ^ {*} = 1}$ , na základě rovnice (1).

Obecné systémy

U obecného systému metoda jednotkové figuríny také pochází přímo z virtuální práce zásada. Obr. (A) ukazuje systém se známými skutečnými deformacemi ${displaystyle {oldsymbol {epsilon}}}$ . Tyto deformace, údajně konzistentní, vedou k posunům v celém systému. Například bod A se přesunul do A 'a my chceme vypočítat posunutí r A ve znázorněném směru. Pro tento konkrétní účel zvolíme virtuální silový systém na obr. (B), který ukazuje:

Jednotková síla R* je na A a ve směru r tak, aby externí virtuální práci provedl R* je s tím, že práce provedená virtuálními reakcemi v (b) je nulová, protože jejich posuny v (a) jsou nulové:

{displaystyle R ^ {*} imes r = 1 imes r}

: Požadovaný posun

Interní virtuální práce prováděná virtuálními napětími je

{displaystyle int _ {V} {oldsymbol {epsilon}} ^ {T} {oldsymbol {sigma}} ^ {*} dV}

kde virtuální napětí

{displaystyle {oldsymbol {sigma}} ^ {*}}

musí uspokojit rovnováhu všude.

Rovnicí dvou pracovních výrazů získáte požadované posunutí:

{displaystyle 1 imes r = int _ {V} {oldsymbol {epsilon}} ^ {T} {oldsymbol {sigma}} ^ {*} dV}