Koherentní topologie - Coherent topology

v topologie, a koherentní topologie je topologie to je jednoznačně určeno rodinou podprostory. Volně řečeno, a topologický prostor je koherentní s rodinou podprostorů, pokud je to topologická unie těchto podprostorů. To je také někdy nazýváno slabá topologie generovaný rodinou podprostorů, představa, která je zcela odlišná od představy slabé topologie generované sadou map.^[1]

Definice

Nechat X být topologický prostor a nechte C = {C_α : α ∈ A} být rodina podskupin X s topologií podprostoru. (typicky C bude Pokrýt z X). Pak X se říká, že je koherentní s C (nebo určeno C)^[2] pokud je topologie X je získán jako ten, který pochází z konečná topologie coinduced by inkluzní mapy

{displaystyle i_ {alpha}: C_ {alpha} o Xqquad alfa v A.}

Podle definice je to nejlepší topologie na (podkladová sada) X pro které jsou inklusní mapy kontinuální.Li C je obálka X, pak X je v souladu s C pokud platí některá z následujících dvou rovnocenných podmínek:

Podmnožina U je otevřeno v X kdyby a jen kdyby U ∩ C_α je otevřen v C_α pro každé α ∈ A.
Podmnožina U je Zavřeno v X kdyby a jen kdyby U ∩ C_α je uzavřen C_α pro každé α ∈ A.

Výše uvedené není pravda, pokud C nepokrývá X

Vzhledem k topologickému prostoru X a libovolná rodina podprostorů C na (základní sada) je jedinečná topologie X to je v souladu s C. Tato topologie obecně bude jemnější než je daná topologie X.

Příklady

Topologický prostor X je koherentní s každým otevřete kryt z X.
Topologický prostor X je koherentní s každým místně konečné uzavřený kryt X.
A diskrétní prostor je koherentní s každou rodinou podprostorů (včetně prázdná rodina ).
Topologický prostor X je v souladu s a rozdělit z X jen a jen X je homeomorfní do disjunktní unie prvků oddílu.
Konečně generované mezery jsou určeny rodinou všech konečné podprostory.
Kompaktně generované prostory jsou určeny rodinou všech kompaktní podprostory.
A CW komplex X je v souladu se svou rodinou n- kostry X_n.

Topologická unie

Nechat ${displaystyle {X_ {alpha}, alfa v A}}$ být rodinou (ne nutně disjunktní ) topologické prostory takové, že indukované topologie dohodnout se na každém průsečík X_α ∩ X_β. Předpokládejme dále X_α ∩ X_β je uzavřen X_α pro každý α, β. Pak topologická unieX je set-teoretická unie

{displaystyle X ^ {set} = igcup _ {alpha in A} X_ {alpha}}

obdařen konečnou topologií navázanou na mapy začlenění ${displaystyle i_ {alpha}: X_ {alpha} o X ^ {set}}$ . Mapy zařazení budou poté topologické vložení a X bude koherentní s podprostory {X_α}.

Naopak, pokud X je koherentní s rodinou podprostorů {C_α} ten obal X, pak X je homeomorfní k topologickému spojení rodiny {C_α}.

Lze vytvořit topologické spojení libovolné rodiny topologických prostorů, jak je uvedeno výše, ale pokud se topologie neshodnou na křižovatkách, potom zahrnutí nemusí být nutně vložením.

Lze také popsat topologickou unii pomocí disjunktní unie. Konkrétně pokud X je topologické spojení rodiny {X_α}, pak X je homeomorfní vůči kvocient disjunktního svazku rodiny {X_α} podle vztah ekvivalence

{displaystyle (x, alpha) sim (y, eta) Šipka vlevo x = y}

pro všechny α, β v A. To znamená,

{displaystyle Xcong coprod _ {alpha in A} X_ {alpha} / sim.}

Pokud mezeryX_α} jsou všechny disjunktní, pak topologická unie je jen disjunktní unie.

Předpokládejme, že množina A je režie způsobem slučitelným se začleněním: ${displaystyle alpha leq eta}$ kdykoli ${displaystyle X_ {alpha} podmnožina X_ {eta}}$ . Pak existuje jedinečná mapa z ${displaystyle varinjlim X_ {alpha}}$ na X, což je ve skutečnosti homeomorfismus. Tady ${displaystyle varinjlim X_ {alpha}}$ je přímý (indukční) limit (colimit ) z {X_α} v kategorii Horní.

Vlastnosti

Nechat X být koherentní s rodinou podprostorů {C_α}. Mapa F : X → Y je kontinuální jen a jen v případě omezení

{displaystyle f | _ {C_ {alpha}}: C_ {alpha} o Y,}

jsou spojité pro každé α ∈ A. Tento univerzální vlastnictví charakterizuje koherentní topologie ve smyslu prostoru X je v souladu s C právě když tato vlastnost platí pro všechny mezery Y a všechny funkce F : X → Y.

Nechat X být určen a Pokrýt C = {C_α}. Pak

Li C je upřesnění krytu D, pak X je určeno D.
Li D je upřesnění C a každý C_α je určena rodinou všech D_β obsaženo v C_α pak X je určeno D.

Nechat X určí {C_α} a nechte Y být otevřený nebo uzavřený podprostor z X. Pak Y určuje {Y ∩ C_α}.

Nechat X určí {C_α} a nechte F : X → Y být kvocientová mapa. Pak Y je určeno {f (C_α)}.

Nechat F : X → Y být surjektivní mapa a předpokládejme Y určuje {D_α : α ∈ A}. Pro každé α ∈ A nechat

{displaystyle f_ {alpha}: f ^ {- 1} (D_ {alpha}) o D_ {alpha},}

být omezením F na F⁻¹(D_α). Pak

Li F je spojitý a každý F_α je tedy kvocientová mapa F je kvocientová mapa.
F je uzavřená mapa (resp. otevřít mapu ) jen a jen pokud každý F_α je zavřený (resp. otevřený).

Poznámky

^ Willard, str. 69
^ X je také řekl, aby měl slabá topologie generováno uživatelem C. Toto je potenciálně matoucí název od adjektiv slabý a silný jsou používány s opačným významem různými autory. V moderním použití termín slabá topologie je synonymem pro počáteční topologie a silná topologie je synonymem pro konečná topologie. Zde se diskutuje o konečné topologii.

Reference

Tanaka, Yoshio (2004). "Prostory kvocientu a rozklady". V K.P. Jelen; J. Nagata; J. E. Vaughan (eds.). Encyklopedie obecné topologie. Amsterdam: Elsevier Science. 43–46. ISBN 0-444-50355-2.
Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 (Vydání Doveru).

[1] Willard, str. 69

[2] X je také řekl, aby měl slabá topologie generováno uživatelem C. Toto je potenciálně matoucí název od adjektiv slabý a silný jsou používány s opačným významem různými autory. V moderním použití termín slabá topologie je synonymem pro počáteční topologie a silná topologie je synonymem pro konečná topologie. Zde se diskutuje o konečné topologii.

[1]

[2]