Mirimanoffova shoda - Mirimanoffs congruence - Wikipedia

v teorie čísel, pobočka matematika, a Mirimanoffova shoda je jednou z kolekce výrazů v modulární aritmetika které, pokud se drží, znamenají pravdu Fermatova poslední věta. Protože teorém je nyní prokázán, mají nyní převážně historický význam, ačkoli Mirimanoffovy polynomy jsou samy o sobě zajímavé. Věta je kvůli Dmitrij Mirimanoff.

Definice

The nMirimanoffův polynom pro prvočíslo p je

{ displaystyle phi _ {n} (t) = 1 ^ {n-1} t + 2 ^ {n-1} t ^ {2} + ... + (p-1) ^ {n-1} t ^ {p-1}.}

Pokud jde o tyto polynomy, pokud t je jednou ze šesti hodnot {-X/Y, -Y/X, -X/Z, -Z/X, -Y/Z, -Z/Y} kde X^p+Y^p+Z^p= 0 je tedy řešením Fermatovy poslední věty

φ_p-1(t) ≡ 0 (mod p)
φ_p-2(t) φ₂(t) ≡ 0 (mod p)
φ_p-3(t) φ₃(t) ≡ 0 (mod p)

...

φ_(p+1)/2(t) φ_(p-1)/2(t) ≡ 0 (mod p)

Další shody

Mirimanoff také prokázal následující:

Pokud lichý prime p nerozděluje jednoho z čitatelů Bernoulliho čísla B_p-3, B_p-5, B_p-7 nebo B_p-9, pak první případ Fermatovy poslední věty, kde p nedělí X, Y nebo Z v rovnici X^p+Y^p+Z^p= 0, drží.
Pokud první případ Fermatovy poslední věty selže pro prvočíslo p, pak 3^p-1 ≡ 1 (mod p²). Prvočíslo s touto vlastností se někdy nazývá a Mirimanoff prime, analogicky k a Wieferich prime což je prvočíslo takové, že 2^p-1 ≡ 1 (mod p²). Existence prvočísel vyhovujících těmto shodám byla uznána dlouho předtím, než se projevily jejich důsledky pro první případ Fermatovy poslední věty; ale zatímco objev prvního Wieferichova prvočísla přišel po těchto teoretických vývojech a byl jimi podnícen, první instance Mirimanoffova prvočísla je tak malá, že to bylo známo již dříve, než Mirimanoff formuloval spojení s FLT v roce 1910, což může vysvětlit neochota některých autorů používat název. Již ve svém příspěvku z roku 1895 (str. 298) se Mirimanoff zmiňuje o poměrně komplikovaném testu prvočísel, která jsou nyní známá pod jeho jménem, odvozeného ze vzorce zveřejněného Sylvester v roce 1861, což má malou výpočetní hodnotu, ale velký teoretický zájem. Tento test podstatně zjednodušil Lerch (1905), s. 476, který ukázal, že obecně pro p > 3,

${ displaystyle 3 ^ {p-1} equiv left (- { frac {2} {3}} cdot left {1 + { frac {1} {2}} + { frac {1 } {3}} + { frac {1} {4}} + ldots + left lfloor p / 3 right rfloor ^ {- 1} right } right) p + 1 { pmod { p ^ {2}}}}$

takže prvočíslo má vlastnost Mirimanoff, pokud rozděluje výraz do složených závorek. Podmínku dále upřesnila důležitá práce Emmy Lehmerové (1938), ve které uvažovala o zajímavé a dosud nezodpovězené otázce, zda je možné, aby řada uspokojila shodu Wiefericha a Mirimanoffa současně. K dnešnímu dni jsou jediné známé Mirimanoffovy prvočísla 11 a 1006003 (sekvence A014127 v OEIS ). Objev druhého z nich se zdá být způsoben K.E. Kloss (1965).

Reference

K.E. Kloss, „Některé numericko-teoretické výpočty“, Journal of Research of the National Bureau of Standards — B. Matematika a matematická fyzika 69 (1965), str. 335–336.
Emma Lehmer, „O shodách zahrnujících Bernoulliho čísla a kvocienty Fermata a Wilsona“, Annals of Mathematics 39 (1938), s. 350–360.
M. Lerch, „Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…,“ Mathematische Annalen 60 (1905), str. 471–490 [1].
D. Mirimanoff, „Sur la Congruence (r^p−1 − 1):p ≡ q_r„Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895), str. 295–300 [2]. Některé opravy jsou uvedeny v dokumentu z roku 1937 níže.
D. Mirimanoff, „Sur le dernier théorème de Fermat et le Critérium de M. A. Wieferich,“ L'Enseignement Mathématique 11 (1909), s. 455–459 [3].
D. Mirimanoff, „Sur le dernier théorème de Fermat“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 150 (1910), str. 204–206; revidovaná a rozšířená verze tohoto článku se objevila pod stejným názvem v Journal für die reine und angewandte Mathematik 139 (1911), str. 309–324 [4].
D. Mirimanoff, „Sur les nombres de Bernoulli,“ L'Enseignement Mathématique 36 (1937), s. 228–235 [5].
Paulo Ribenboim, 13 přednášek o Fermatově poslední větěSpringer, 1979
Paulo Ribenboim, Moje čísla, moji přátelé: Populární přednášky o teorii čísel, Springer, 2006