Harish-Chandrasova věta o pravidelnosti - Harish-Chandras regularity theorem - Wikipedia

V matematice Věta o pravidelnosti Harish-Chandry, představil Harish-Chandra  (1963 ), uvádí, že každá invariantní vlastní distribuce na a napůl jednoduchá Lieova skupina, a zejména každý znak souboru neredukovatelné jednotné zastoupení na Hilbertův prostor, je dán a lokálně integrovatelná funkce. Harish-Chandra (1978, 1999 ) prokázal podobnou větu pro semimple p-adické skupiny.

Harish-Chandra (1955, 1956 ) předtím ukázal, že jakákoli invariantní vlastní distribuce je analytická na regulárních prvcích skupiny, tím, že ukazuje, že na těchto prvcích jde o řešení eliptické diferenciální rovnice. Problém je v tom, že může mít singularity na singulárních prvcích skupiny; věta o pravidelnosti znamená, že tyto singularity nejsou příliš závažné.

Prohlášení

Distribuce ve skupině G nebo se nazývá jeho Lieova algebra neměnný pokud je invariantní pod konjugací pomocí G.

Distribuce ve skupině G nebo jeho Lieova algebra se nazývá vlastní distribuce pokud se jedná o vlastní vektor středu univerzální obklopující algebry G (identifikováno s levým a pravým invariantním diferenciálním operátorem G.

Harish-Chandřina věta o pravidelnosti uvádí, že jakékoli invariantní vlastní rozdělení na polojednodušou skupinu nebo Lieovu algebru je lokálně integrovatelná funkce. Podmínku, že se jedná o vlastní rozdělení, lze mírně uvolnit do podmínky, že její obraz pod středem univerzální obklopující algebry je konečně trojrozměrný. Věta o pravidelnosti také naznačuje, že na každé kartanové subalgebře lze distribuci zapsat jako konečný součet exponenciálů dělený funkcí Δ, která se velmi podobá jmenovateli Weylův vzorec znaků.

Důkaz

Harish-Chandra je původní důkaz věty o pravidelnosti uveden v posloupnosti pěti článků (Harish-Chandra1964a, 1964b, 1964c, 1965a, 1965b ).Atiyah (1988) uvedl výklad důkazu věty o pravidelnosti Harish-Chandry pro případ SL2(R) a načrtl jeho zobecnění do vyšších hodnostních skupin.

Většina důkazů může být rozdělena do několika kroků následujícím způsobem.

  • Krok 1. Pokud Θ je invariantní vlastní rozdělení, pak je analytické na regulárních prvcích G. To vyplývá z eliptická pravidelnost, tím, že ukazuje, že střed univerzální obklopující algebry má prvek, který je "eliptický příčně k oběžné dráze G" pro jakoukoli pravidelnou oběžnou dráhu.
  • Krok 2. Pokud Θ je invariantní vlastní rozdělení, pak jeho omezení na běžné prvky G je místně integrovatelný G. (To dává smysl jako nepravidelné prvky G následuje ukázka, že ΔΘ na každé kartanové subalgebře je konečný součet exponenciálů, kde Δ je v podstatě jmenovatelem Weylova jmenovatelového vzorce s 1 / Δ lokálně integrovatelnou.
  • Krok 3. V krocích 1 a 2 je invariantní vlastní rozdělení Θ součet S+F kde F je lokálně integrovatelná funkce a S má podporu pro singulární prvky G. Problém je ukázat to S zmizí. To se provádí stratifikací množiny singulárních prvků G jako svaz místně uzavřených podmanifoldů G a pomocí indukce na codimension vrstev. I když je možné, aby vlastní funkce diferenciální rovnice měla formu S+F s F místně integrovatelné a S s singulární podporou na rozdělovači, je to možné pouze v případě, že operátor diferenciálu splňuje určité omezující podmínky. Jeden pak může zkontrolovat, že Casimir provozovatel G nesplňuje tyto podmínky na vrstvách singulární množiny, která působí S zmizet.

Reference