Blattnerova domněnka - Blattners conjecture - Wikipedia

v matematika, Blattnerova domněnka nebo Blattnerův vzorec je popis diskrétní řady reprezentace generála polojediná skupina G z hlediska jejich omezená reprezentace do a maximální kompaktní podskupina K. (jejich tzv K.-typy). Je pojmenován po Robert James Blattner, přestože nebyl formulován jako domněnka.

Prohlášení

Blattnerův vzorec říká, že pokud je diskrétní reprezentace řady s nekonečně malým znakem λ omezena na maximální kompaktní podskupinu K., pak reprezentace K. s nejvyšší hmotností μ dochází s multiplicitou

kde

Q je počet způsobů, jakými lze vektor zapsat jako součet nekompaktních pozitivních kořenů
ŽK. je Weylova skupina K.
ρC je polovina součtu kompaktních kořenů
ρn je polovina součtu nekompaktních kořenů
ε je znak znaku WK..

Blattnerův vzorec je to, co člověk získá formálním omezením Vzorec postavy Harish-Chandra pro diskrétní reprezentaci řady do maximálního torusu maximální kompaktní skupiny. Problémem v prokázání Blattnerova vzorce je to, že to dává znak pouze pravidelným prvkům maximálního torusu a je také potřeba kontrolovat jeho chování na singulárních prvcích. U nediskrétních neredukovatelných reprezentací nemusí formální omezení vzorce znaků Harish-Chandry vést k rozkladu pod maximální kompaktní podskupinou: například pro reprezentace hlavní řady SL2 znak je identicky nulový u nesingulárních prvků maximální kompaktní podskupiny, ale reprezentace není u této podskupiny nulová. V tomto případě je znak distribucí v maximální kompaktní podskupině s podporou singulárních prvků.

Dějiny

Harish-Chandra ústně přisoudil domněnku Robert James Blattner jak položil Blattner otázku, nikoli domněnku Blattnera. Blattner to nezveřejnil v žádné formě. Poprvé se objevil v tisku v Schmid (1968, věta 2), kde byla poprvé označována jako „Blattnerova domněnka“, a to navzdory tomu, že výsledky této práce byly získány bez znalosti Blattnerovy otázky a bez ohledu na to, že Blattner takovou domněnku nevytvořil. Okamoto a Ozeki (1967) zmínil zvláštní případ o něco dříve.

Schmid (1972) v některých zvláštních případech prokázal Blattnerův vzorec.Schmid (1975a) ukázal, že Blattnerův vzorec dal horní mez pro multiplicitu K.-reprezentace, Schmid (1975b) prokázal Blattnerovu domněnku pro skupiny, jejichž symetrický prostor je Hermitian, a Hecht & Schmid (1975) prokázal Blattnerovu domněnku pro lineární polojednoduché skupiny. Blattnerova domněnka (vzorec) byla také prokázána Enright (1979) infinitesimálními metodami, které byly zcela nové a zcela odlišné od metod Hechta a Schmida (1975). Část popudu pro Enrightův článek (1979) pocházela z několika zdrojů: z Enright a Varadarajan (1975), Wallach (1976), Enright a Wallach (1978). V Enright (1979) jsou také uvedeny vzorce pro multiplicitu pro takzvané simulované diskrétní reprezentace řady. Enright (1978) použil své nápady k získání výsledků o konstrukci a klasifikaci neredukovatelných Moduly Harish-Chandra jakékoli skutečné polojednoduché Lieovy algebry.

Reference

  • Enright, Thomas J; Varadarajan, V. S. (1975), „O nekonečně malé charakterizaci diskrétní řady.“, Annals of Mathematics, 102 (1): 1–15., doi:10.2307/1970970, PAN  0476921
  • Enright, Thomas J; Wallach, Nolan R (1978), „Základní řada reprezentací skutečné polojednoduché algebry Lie“, Acta Mathematica, 140 (1–2): 1–32, doi:10.1007 / bf02392301, PAN  0476814
  • Enright, Thomas J (1978), „O algebraické konstrukci a klasifikaci modulů Harish-Chandra“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 75 (3): 1063–1065, doi:10.1073 / pnas.75.3.1063, PAN  0480871, PMC  411407, PMID  16592507
  • Enright, Thomas J (1979), „K základní řadě skutečné polojednodušé Lieovy algebry: jejich neredukovatelnost, rozlišení a multiplicitní vzorce“, Annals of Mathematics, 110 (1): 1–82, doi:10.2307/1971244, PAN  0541329
  • Hecht, Henryk; Schmid, Wilfried (1975), „Důkaz Blattnerova domněnky“, Inventiones Mathematicae, 31 (2): 129–154, doi:10.1007 / BF01404112, ISSN  0020-9910, PAN  0396855
  • Okamoto, Kiyosato; Ozeki, Hideki (1967), „Integrovatelný do čtverce ∂-homomologické prostory připojené k hermitovským symetrickým prostorům ", Osaka Journal of Mathematics, 4: 95–110, ISSN  0030-6126, PAN  0229260
  • Schmid, Wilfried (1968), „Homogenní komplexní rozmanitost a reprezentace polojednodušých Lieových skupin“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 59: 56–59, doi:10.1073 / pnas.59.1.56, ISSN  0027-8424, JSTOR  58599, PAN  0225930, PMC  286000, PMID  16591593
  • Schmid, Wilfried (1970), „O realizaci diskrétní řady polojednodušé Lieovy skupiny.“, Rice University Studies, 56 (2): 99–108, ISSN  0035-4996, PAN  0277668
  • Schmid, Wilfried (1975a), „Některé vlastnosti čtvercově integrovatelných reprezentací polojednodušých Lieových skupin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 102 (3): 535–564, doi:10.2307/1971043, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971043, PAN  0579165
  • Schmid, Wilfried (1975b), "O postavách diskrétní série. Hermitovský symetrický případ", Inventiones Mathematicae, 30 (1): 47–144, doi:10.1007 / BF01389847, ISSN  0020-9910, PAN  0396854
  • Wallach, Nolan R (1976), „Na modulech Enright-Varadarajan: konstrukce diskrétní řady“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 4 (1): 81–101, PAN  0422518