Racionalizace (matematika) - Rationalisation (mathematics)

v elementární algebra, racionalizace kořenů je proces, kterým radikály v jmenovatel z algebraický zlomek jsou vyloučeny.

Pokud je jmenovatelem a monomiální v nějakém radikálu, řekněme ${displaystyle a {sqrt [{n}] {x}} ^ {k},}$ s k < n, racionalizace spočívá v vynásobení čitatele a jmenovatele číslem ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}} ^ {n-k},}$ a nahrazení ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}} ^ {n}}$ podle X (to je povoleno, protože, podle definice, a nth kořen z X je číslo, které má X jako jeho nth síla). Li k ≥ n, píše jeden k = qn + r s 0 ≤ r < n (Euklidovské dělení ), a ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}} ^ {k} = x ^ {q} {sqrt [{n}] {x}} ^ {r};}$ pak postupujeme výše uvedeným způsobem vynásobením ${displaystyle {sqrt [{n}] {x}} ^ {n-r}.}$

Pokud je jmenovatel lineární v nějaké odmocnině, řekněme ${displaystyle a + b {sqrt {x}},}$ racionalizace spočívá v vynásobení čitatele a jmenovatele číslem ${displaystyle a-b {sqrt {x}},}$ a rozšíření produktu ve jmenovateli.

Tuto techniku ​​lze rozšířit na libovolný algebraický jmenovatel vynásobením čitatele a jmenovatele všemi algebraické konjugáty jmenovatele a rozšíření nového jmenovatele na norma starého jmenovatele. Avšak s výjimkou zvláštních případů mohou mít výsledné zlomky obrovské čitatele a jmenovatele, a proto se tato technika obecně používá pouze ve výše uvedených základních případech.

Racionalizace monomické odmocniny a odmocniny

U základní techniky musí být čitatel a jmenovatel vynásobeny stejným faktorem.

Příklad 1:

${displaystyle {frac {10} {sqrt {a}}}}$

Racionalizovat tento druh výraz, přivést faktor ${displaystyle {sqrt {a}}}$:

${displaystyle {frac {10} {sqrt {a}}} = {frac {10} {sqrt {a}}} cdot {frac {sqrt {a}} {sqrt {a}}} = {frac {10 {sqrt {a}}} {left ({sqrt {a}} ight) ^ {2}}}}$

The odmocnina zmizí ze jmenovatele, protože ${displaystyle left ({sqrt {a}} ight) ^ {2} = a}$ podle definice druhé odmocniny:

${displaystyle {frac {10 {sqrt {a}}} {left ({sqrt {a}} ight) ^ {2}}} = {frac {10 {sqrt {a}}} {a}},}$

který je výsledkem racionalizace.

Příklad 2:

${displaystyle {frac {10} {sqrt [{3}] {b}}}}$

Chcete-li tento radikál racionalizovat, přidejte faktor ${displaystyle {sqrt [{3}] {b}} ^ {2}}$:

${displaystyle {frac {10} {sqrt [{3}] {b}}} = {frac {10} {sqrt [{3}] {b}}} cdot {frac {{sqrt [{3}] {b }} ^ {2}} {{sqrt [{3}] {b}} ^ {2}}} = {frac {10 {sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {{sqrt [ {3}] {b}} ^ {3}}}}$

Kořen kostky zmizí ze jmenovatele, protože je krychlový:

${displaystyle {frac {10 {sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {{sqrt [{3}] {b}} ^ {3}}} = {frac {10 {sqrt [{3 }] {b}} ^ {2}} {b}}}$

To po zjednodušení dává výsledek:

${displaystyle {frac {10 {sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {b}}}$

Řešení dalších odmocnin

Pro jmenovatele, který je:

${displaystyle {sqrt {2}} + {sqrt {3}},}$

Racionalizace lze dosáhnout vynásobením sdružené:

${displaystyle {sqrt {2}} - {sqrt {3}},}$

a použití rozdíl dvou čtverců identita, která zde získá -1. Chcete-li získat tento výsledek, měl by se celý zlomek vynásobit

${displaystyle {frac {{sqrt {2}} - {sqrt {3}}} {{sqrt {2}} - {sqrt {3}}}} = 1.}$

Tato technika funguje mnohem obecněji. Lze jej snadno upravit tak, aby odstranil jednu druhou odmocninu najednou, tj. Racionalizoval

${displaystyle x + {sqrt {y}},}$

vynásobením

${displaystyle x- {sqrt {y}}}$

Příklad:

${displaystyle {frac {3} {{sqrt {3}} + {sqrt {5}}}}}$

Zlomek musí být vynásoben kvocientem obsahujícím ${displaystyle {{sqrt {3}} - {sqrt {5}}}}$.

${displaystyle {frac {3} {{sqrt {3}} + {sqrt {5}}}} cdot {frac {{sqrt {3}} - {sqrt {5}}} {{sqrt {3}} - { sqrt {5}}}} = {frac {3 ({sqrt {3}} - {sqrt {5}})}} {{sqrt {3}} ^ {2} - {sqrt {5}} ^ {2} }}}$

Nyní můžeme přistoupit k odstranění odmocnin ve jmenovateli:

${displaystyle {frac {3 ({sqrt {3}} - {sqrt {5}})}} {{sqrt {3}} ^ {2} - {sqrt {5}} ^ {2}}} = {frac { 3 ({sqrt {3}} - {sqrt {5}})}} {3-5}} = {frac {3 ({sqrt {3}} - {sqrt {5}})} {- 2}}}$

Příklad 2:

Tento proces funguje také s komplexní čísla s ${displaystyle i = {sqrt {-1}}}$

${displaystyle {frac {7} {1+ {sqrt {-5}}}}}$

Zlomek musí být vynásoben kvocientem obsahujícím ${displaystyle {1- {sqrt {-5}}}}$.

${displaystyle {frac {7} {1+ {sqrt {-5}}}} cdot {frac {1- {sqrt {-5}}} {1- {sqrt {-5}}}} = {frac {7 (1- {sqrt {-5}})} {1 ^ {2} - {sqrt {-5}} ^ {2}}} = {frac {7 (1- {sqrt {-5}})}} 1 - (- 5)}} = {frac {7-7 {sqrt {5}} i} {6}}}$

Zobecnění

Racionalizaci lze rozšířit na všechny algebraická čísla a algebraické funkce (jako aplikace normové formy ). Například k racionalizaci a třetí odmocnina, zahrnující dva lineární faktory kostky kořenů jednoty by měl být použit, nebo ekvivalentně kvadratický faktor.

Reference

Tento materiál je přenášen v klasických textech algebry. Například:

• George Chrystal, Úvod do algebry: Pro využití středních škol a vysokých škol je text z devatenáctého století, první vydání 1889, v tisku (ISBN  1402159072); trinomický příklad s druhou odmocninou je na str. 256, zatímco obecná teorie racionalizujících faktorů pro odvody je na str. 189–199.