Fenchel – Moreauova věta - Fenchel–Moreau theorem

Funkce, která není nižší polokontinuální. Podle Fenchel-Moreauovy věty se tato funkce nerovná její funkci biconjugate.

v konvexní analýza, Fenchel – Moreauova věta (pojmenoval podle Werner Fenchel a Jean Jacques Moreau ) nebo Fenchelova věta o bikonjugaci (nebo prostě bikonjugační věta) je teorém který dává nezbytné a dostatečné podmínky aby se funkce rovnala jeho biconjugate. To je na rozdíl od obecné vlastnosti pro jakoukoli funkci .[1][2] To lze chápat jako zevšeobecnění bipolární věta.[1] Používá se v teorie duality dokázat silná dualita (přes poruchová funkce ).

Tvrzení

Nechat být Hausdorff lokálně konvexní prostor, pro všechny rozšířené skutečné hodnotná funkce z toho vyplývá, že právě když je splněna jedna z následujících podmínek

  1. je správně, nižší polokontinuální, a konvexní funkce,
  2. nebo
  3. .[1][3][4]

Reference

  1. ^ A b C Borwein, Jonathane; Lewis, Adrian (2006). Konvexní analýza a nelineární optimalizace: teorie a příklady (2. vyd.). Springer. str. 76–77. ISBN  9780387295701.
  2. ^ Zălinescu, Constantin (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. str. 75–79. ISBN  981-238-067-1. PAN  1921556.
  3. ^ Hang-Chin Lai; Lai-Jui Lin (květen 1988). „Věta Fenchel-Moreau pro množinové funkce“. Proceedings of the American Mathematical Society. Americká matematická společnost. 103 (1): 85–90. doi:10.2307/2047532.
  4. ^ Shozo Koshi; Naoto Komuro (1983). „Zevšeobecnění Fenchel-Moreauovy věty“. Proc. Japan Acad. Ser. Matematika. Sci.. 59 (5): 178–181.