Konkavifikace - Concavification
V matematice konkavifikace je proces převodu nekonkávní funkce na a konkávní funkce. Související koncept je konvexifikace - převod nekonvexní funkce na a konvexní funkce. To je zvláště důležité v ekonomika a matematická optimalizace.[1]
Konkavifikace kvazikonkávní funkce monotónní transformací
Důležitým zvláštním případem konkavifikace je místo, kde je původní funkce a kvazikonkávní funkce. Je známo že:
- Každá konkávní funkce je kvazikonkávní, ale opak není pravdou.
- Každá monotónní transformace kvazikonkávní funkce je také kvazikonkávní. Například pokud F(X) je kvazikonkávní a G(·) Je tedy monotónně rostoucí funkce G(F(X)) je také kvazikonkávní.
Přirozenou otázkou tedy je: vzhledem k tomu, kvazikonkávní funkce F(X), existuje monotónně rostoucí G(·) takhle G(F(X)) je konkávní?
Pozitivní a negativní příklady
Jako pozitivní příklad zvažte funkci v doméně . Tato funkce je kvazikonkávní, ale není konkávní (ve skutečnosti je striktně konvexní). Lze jej konkavifikovat například pomocí monotónní transformace , od té doby který je konkávní.
Negativní příklad ukázal Fenchel.[2] Jeho příklad je: . Dokázal, že tato funkce je kvazikonkávní, ale neexistuje monotónní transformace G(·) Takové, že G(F(X,y)) je konkávní.[3]:7–9
Na základě těchto příkladů definujeme funkci, která má být překonatelný pokud existuje monotónní transformace, díky které je konkávní. Otázka nyní zní: jaké kvazikonkávní funkce jsou konkávovatelné?
Konkávovatelnost
Yakar Kannai se této otázky věnuje do hloubky v kontextu obslužné funkce, poskytující dostatečné podmínky, za kterých kontinuální konvexní preference mohou být reprezentovány konkávními užitnými funkcemi.[4]
Jeho výsledky později zobecnili Connell a Rasmussen,[3] kteří poskytují nezbytné a dostatečné podmínky pro konkávovatelnost. Ukazují příklad funkce, která porušuje jejich podmínky, a proto ji nelze překonat. to je . Dokazují, že tato funkce je striktně kvazikonkávní a její gradient nezmizí, ale není konkávovatelný.
Reference
- ^ Li, D .; Sun, X. L .; Biswal, M. P .; Gao, F. (01. 07. 2001). "Konvexifikace, konkavifikace a monotonizace v globální optimalizaci". Annals of Operations Research. 105 (1–4): 213–226. doi:10.1023 / A: 1013313901854. ISSN 0254-5330.
- ^ Fenchel (1953). Konvexní kužele, množiny a funkce. Univerzita Princeton.
- ^ A b Connell, Christopher; Rasmusen, Eric Bennett (2012-08-17). "Konkávování QuasiConcave". Rochester, NY. SSRN 1907180. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Kannai, Yakar (01.03.1977). "Konkávovatelnost a konstrukce konkávních užitkových funkcí". Journal of Mathematical Economics. 4 (1): 1–56. doi:10.1016/0304-4068(77)90015-5. ISSN 0304-4068.