Formální zákon o skupině Lubin – Tate - Lubin–Tate formal group law - Wikipedia

V matematice je Formální zákon o skupině Lubin – Tate je formální zákon o skupině představil Lubin a Tate (1965 ) izolovat místní pole část klasické teorie komplexní násobení z eliptické funkce. Zejména jej lze použít ke konstrukci zcela rozvětvených abelianských rozšíření místního pole. Dělá to tím, že vezme v úvahu (formální) endomorfismy formální skupiny, napodobující způsob, jakým eliptické křivky s extra endomorfismy se používají k dávání abelian rozšíření z globální pole.

Definice formálních skupin

Nechat Z_p být prstenem p-adická celá čísla. The Formální zákon o skupině Lubin – Tate je jedinečný (jednorozměrný) formální zákon o skupině F takhle E(X) = px + X^p je endomorfismus z F, jinými slovy

{ displaystyle e (F (x, y)) = F (e (x), e (y)). }

Obecněji, volba pro E může být libovolná výkonová řada taková

E(X) = px + termíny vyššího stupně a

E(X) = X^p modp.

Všechny tyto zákony skupiny pro různé možnosti E splňující tyto podmínky, jsou přísně izomorfní.^[1] Tyto podmínky jsme zvolili tak, abychom zajistili, že redukují modulo na maximální ideál pro Frobeniuse a derivát na počátku je hlavní prvek.

Pro každý prvek A v Z_p existuje jedinečný endomorfismus F formálního zákona o skupině Lubin – Tate takový F(X) = sekera + termíny vyššího stupně. To dává akci prstenu Z_p o formálním zákoně o skupině Lubin – Tate.

Podobná konstrukce je s Z_p nahrazeno jakýmkoli úplným diskrétní oceňovací kruh s konečnou pole třídy reziduí, kde p je nahrazen výběrem z uniformizátor.^[2]

Příklad

Načrtneme zde formální ekvivalent skupiny Frobeniův prvek, což má v teorie pole,^[3] generování maximální unramified rozšíření jako obraz mapy vzájemnosti.

V tomto příkladu potřebujeme pojem endomorfismu formálních skupin, což je homomorfismus formální skupiny F kde doménou je codomain. Formální skupinový homomorfismus z formální skupiny F do formální skupiny G je výkonová řada přes stejný kruh jako formální skupiny, která má nulový konstantní člen a je taková, že:

{ displaystyle f (F (X, Y)) = G (f (X), f (Y))}

Zvažte formální skupinu F (X, Y) s koeficienty v kruhu celých čísel v místním poli (například Z_p). Brát X a Y být v jedinečném maximálním ideálu nám dává konvergentní výkonovou řadu a v tomto případě definujeme F (X, Y) = X +_F Y a máme skutečný zákon o skupině. Například pokud F (X, Y) = X + Y, pak se jedná o obvyklý doplněk. To je izomorfní pro případ F (X, Y) = X + Y + XYkde máme násobení na množině prvků, které lze zapsat jako 1 přidané k prvku prvotního ideálu. V druhém případě f (S) = (1 + S.)^p-1 je endomorfismus F a izomorfismus identifikuje f s Frobeniovým prvkem.

Generování rozvětvených rozšíření

Lubin – Tateova teorie je výslovně důležitá teorie místní třídy pole. The unramified část jakéhokoli abelianského rozšíření je snadno sestavitelné, najde Lubin – Tate svou hodnotu při výrobě rozvětveného dílu. Funguje to tak, že definujeme rodinu modulů (indexovaných přirozenými čísly) přes kruh celých čísel skládající se z toho, co lze považovat za kořeny mocenské řady opakovaně skládané ze sebe. Kompozit všech polí vytvořený připojením takových modulů k původnímu poli dává rozvětvenou část.

A Lubin – Tate prodloužení místního pole K. je abelian rozšíření K. získané zvážením p- dělící body skupiny Lubin – Tate. Li G je Eisensteinův polynom, F(t) = t G(t) a F formální skupina Lubin – Tate, nechť θ_n označit kořen gf^n-1(t)=G(F(F(⋯(F(t)) ⋯))). Pak K.(θ_n) je abelian rozšíření K. se skupinou Galois isomorfní k U/1+pⁿ kde U je jednotková skupina kruhu celých čísel K. a p je maximální ideál.^[2]

Spojení se stabilní teorií homotopy

Lubin a Tate studovali teorie deformace takových formálních skupin. Pozdější aplikace teorie byla v oblasti stabilní homotopická teorie, s konstrukcí konkrétního mimořádná teorie cohomologie spojené s konstrukcí pro daný prime p. Jako součást obecného aparátu pro formální skupiny, teorie kohomologie s spektrum je zřízen pro formální skupinu Lubin – Tate, která se rovněž jmenuje Morava E-theory nebo dokončeno Johnson-Wilsonova teorie.^[4]

Reference

Poznámky

^ Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Úvod do moderní teorie čísel. Encyklopedie matematických věd. 49 (Druhé vydání.). str. 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
^ ^A ^b Koch, Helmut (1997). Algebraická teorie čísel. Encycl. Matematika. Sci. 62 (2. tisk 1. vydání). Springer-Verlag. 62–63. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044.
^ např. Serre (1967). Hazewinkel, Michiel (1975). „Místní teorie třídních polí je snadná“. Pokroky v matematice. 18 (2): 148–181. doi:10.1016/0001-8708(75)90156-5. Zbl 0312.12022.
^ „E-teorie Morava a K-teorie Morava (přednáška 22)“ (PDF). Jacob Lurie. 27.dubna 2010. Citováno 27. září 2020.

Zdroje

de Shalit, Ehud (1987), Iwasawa teorie eliptických křivek se složitým násobením. funkce p-adic L.Perspektivy v matematice, 3Akademický tisk, ISBN 0-12-210255-X, Zbl 0674.12004
Iwasawa, Kenkichi (1986), Teorie pole místní třídy Oxfordské matematické monografie, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, PAN 0863740, Zbl 0604.12014
Lubin, Jonathan; Tate, Johne (1965), „Formální komplexní násobení v místních oborech“, Annals of Mathematics, Druhá série, 81 (2): 380–387, doi:10.2307/1970622, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970622, PAN 0172878, Zbl 0128.26501
Lubin, Jonathan; Tate, Johne (1966), "Formální moduly pro jednoparametrické formální Lieovy skupiny", Bulletin de la Société Mathématique de France, 94: 49–59, doi:10,24033 / bsmf.1633, ISSN 0037-9484, PAN 0238854, Zbl 0156.04105
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. PAN 1697859. Zbl 0956.11021.
Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraická teorie čísel (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Academic Press, s. 128–161, PAN 0220701, Zbl 0153.07403

externí odkazy

Lurie, J. (2010), Lubin – Tateova teorie (PDF)

[1] Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Úvod do moderní teorie čísel. Encyklopedie matematických věd. 49 (Druhé vydání.). str. 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.

[K6263-2] A ^b Koch, Helmut (1997). Algebraická teorie čísel. Encycl. Matematika. Sci. 62 (2. tisk 1. vydání). Springer-Verlag. 62–63. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044.

[3] ř. Serre (1967). Hazewinkel, Michiel (1975). „Místní teorie třídních polí je snadná“. Pokroky v matematice. 18 (2): 148–181. doi:10.1016/0001-8708(75)90156-5. Zbl 0312.12022.

[4] „E-teorie Morava a K-teorie Morava (přednáška 22)“ (PDF). Jacob Lurie. 27.dubna 2010. Citováno 27. září 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]