Kruhový segment - Circular segment - Wikipedia

v geometrie, a kruhový segment (symbol: ⌓) je region a kruh který je „odříznut“ od zbytku kruhu znakem a sekán nebo a akord. Více formálně je kruhový segment oblastí dvourozměrný prostor který je ohraničen znakem oblouk (menší než 180 °) kruhu a tětivou spojující koncové body oblouku.

Vzorec

Kruhový segment (zeleně) je uzavřen mezi secantem / akordem (přerušovaná čára) a obloukem, jehož koncové body se rovnají akordům (oblouk zobrazený nad zelenou oblastí).

Nechat R být poloměr z kruh, θ středový úhel dovnitř radiány, α je středový úhel v stupňů, C akord délka, s délka oblouku, h the sagitta (výška ) segmentu a d výška (nebo apothem ) z trojúhelníkový část.

Poloměr je

${ displaystyle R = h + d = { frac {h} {2}} + { frac {c ^ {2}} {8h}}}$

Poloměr z hlediska h a C lze odvodit výše pomocí Věta o protínajících se akordech, kde 2R (dále jen průměr ) a C jsou kolmo se protínající akordy:

${ displaystyle (2R-h) cdot h = { frac {c} {2}} cdot { frac {c} {2}} = { frac {c ^ {2}} {4}}}$

${ displaystyle 2R = { frac {c ^ {2}} {4h}} + h}$

${ displaystyle R = { frac {c ^ {2}} {8h}} + { frac {h} {2}}}$

Délka oblouku je

${ displaystyle s = { frac { alpha} {180 ^ { circ}}} pi R = { theta} R = arcsin left ({ frac {c} {h + { frac {c ^ {2}} {4h}}}} doprava) doleva (h + { frac {c ^ {2}} {4h}} doprava)}$

Délka oblouku z hlediska arcsinu lze odvodit výše zvážením vepsaný úhel který subtenduje stejný oblouk a jedna strana úhlu je průměr. Takto zapsaný úhel je θ/2 a je součástí pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona je průměr. To je také užitečné při odvozování jiných inverzní trigonometrický formuláře níže.

S další pomocí polohranné vzorce a Pythagorovy identity, délka akordu je

${ displaystyle c = 2R sin { frac { theta} {2}} = R { sqrt {2-2 cos theta}} = 2R { sqrt {1- (d / R) ^ {2 }}}}$

Sagitta je

${ displaystyle h = R left (1- cos { frac { theta} {2}} right) = R - { sqrt {R ^ {2} - { frac {c ^ {2}} {4}}}}}$

Úhel je

${ displaystyle theta = 2 arctan { frac {c} {2d}} = 2 arccos { frac {d} {R}} = 2 arccos left (1 - { frac {h} {R }} right) = 2 arcsin { frac {c} {2R}}}$

Plocha

The plocha A kruhového segmentu se rovná ploše kruhový sektor minus plocha trojúhelníkové části

${ displaystyle A = { frac {R ^ {2}} {2}} left ( theta - sin theta right) = R ^ {2} left ( arcsin { frac {c} { 2R}} - { frac {c} {2R}} { sqrt {1- left ({ frac {c} {2R}} right) ^ {2}}} right) = R left ( R arccos { frac {d} {R}} - d { sqrt {1 - { frac {d ^ {2}} {R ^ {2}}}}} vpravo)}$

se středovým úhlem v radiánech, nebo

${ displaystyle A = { frac {R ^ {2}} {2}} vlevo ({ frac { alpha pi} {180 ^ { circ}}} - sin vlevo ({ frac { alpha pi} {180 ^ { circ}}} vpravo) vpravo)}$

s centrálním úhlem ve stupních.

Jako podíl na celé ploše disku ${ displaystyle S = pi R ^ {2}}$, ty máš

${ displaystyle { frac {A} {S}} = { frac {1} {2 pi}} left ( theta - sin theta right) = { frac { alpha} {360 ^ { circ}}} - { frac { sin alpha} {2 pi}}}$

Aplikace

Plošný vzorec lze použít k výpočtu objemu částečně naplněné válcové nádrže.

V designu oken nebo dveří se zaoblenými vrcholy C a h mohou být jediné známé hodnoty a lze je použít k výpočtu R pro nastavení kompasu navrhovatele.

Lze rekonstruovat celé rozměry úplného kruhového objektu z fragmentů měřením délky oblouku a délky akordu fragmentu.

Chcete-li zkontrolovat polohy otvorů na kruhovém vzoru. Obzvláště užitečné pro kontrolu kvality obráběných výrobků.

Pro výpočet plochy nebo těžiště rovinného tvaru, který obsahuje kruhové segmenty.

Viz také

• Akord (geometrie)
• Sférický segment
• Kuželovitý řez
• Průřez
• Kruhový sektor

Reference

• Weisstein, Eric W. „Kruhový segment“. MathWorld.

externí odkazy

• Definice kruhového segmentu S interaktivní animací
• Vzorce pro plochu kruhového segmentu S interaktivní animací