Teorie PCF - PCF theory
Teorie PCF je jméno a matematický teorie, kterou zavedl Saharon Shelah (1978 ), který se zabývá spolufinancování z ultraprodukty z objednané sady. Dává silné horní hranice na kardinálnosti napájecí sady z jednotné číslo kardinálové a má také mnoho dalších aplikací. Zkratka „PCF“ znamená „možné“ spolufinancování ".
Hlavní definice
Li A je nekonečná sada řádní kardinálové, D je ultrafiltr na A, pak to necháme označit spoluúčast uspořádané sady funkcí kde je objednávka definována následovně. -li . pcf (A) je sada spolufinancování, ke kterým dochází, pokud vezmeme v úvahu všechny ultrafiltry A, to znamená,
Hlavní výsledky
Je zřejmé, že PCF (A) se skládá z řádných kardinálů. S ohledem na ultrafiltry soustředěné na prvky A, máme to . Shelah dokázal, že pokud , pak PCF (A) má největší prvek a existují podmnožiny z A tak, že pro každý ultrafiltr D na A, je nejmenší prvek θ pcf (A) takové, že . Tudíž, . Shelah také dokázal, že pokud A je interval pravidelných kardinálů (tj. A je množina všech řádných kardinálů mezi dvěma kardinály), pak pcf (A) je také interval pravidelných kardinálů a | pcf (A)|<|A|+4. Z toho vyplývá pověstná nerovnost
za předpokladu, že ℵω je silný limit.
Pokud je λ nekonečný kardinál, pak J<λ je následující ideální na A. B∈J<λ -li platí pro každý ultrafiltr D s B∈D. Pak J<λ je ideál generovaný množinami . Existují váhy, tj. pro každou λ∈pcf (A) existuje posloupnost délky λ prvků což je jak rostoucí, tak kofinální mod J<λ. To znamená, že spolufinancování pod bodovou dominancí je max (pcf (A)). Dalším důsledkem je, že pokud λ je singulární a žádný pravidelný kardinál menší než λ není Jónsson, pak také λ+ není Jónsson. Zejména existuje a Jónssonova algebra na ℵω + 1, který urovná starou domněnku.
Nevyřešené problémy
Nejznámější domněnka v teorii pcf uvádí, že | pcf (A)|=|A| drží pro každou sadu A řádných kardinálů s |A|
drží. Analogické vázané
vyplývá z Changova domněnka (Magidor ) nebo dokonce z neexistence a Kurepa strom (Shelah ).
Slabší, dosud nevyřešená domněnka uvádí, že pokud |A|
Aplikace
Tato teorie našla kromě kardinální aritmetiky velké množství aplikací. Původní průzkum od Shelaha, Kardinální aritmetika pro skeptiky, zahrnuje následující témata: téměř volné abelianské skupiny, problémy s rozděleními, selhání zachování podmínek řetězce v booleovských algebrách pod produkty, existence Jónssonových algeber, existence zapletených lineárních řádů, ekvivalentně úzké booleovské algebry a existence neizomorfních modelů ekvivalentních v určité nekonečné logiky.
Mezitím bylo nalezeno mnoho dalších aplikací v teorii množin, teorii modelu, algebře a topologii.
Reference
- Saharon Shelah, Kardinál aritmetika, Oxford Logic Guides, sv. 29. Oxford University Press, 1994.
externí odkazy
- Menachem Kojman: Teorie PCF
- Shelah, Saharon (1978), „Jonsson algebry v nástupnických kardinálech“, Israel Journal of Mathematics, 30 (1): 57–64, doi:10.1007 / BF02760829, PAN 0505434
- Shelah, Saharon (1992), „Cardinal arithmetic for skeptics“, Americká matematická společnost. Bulletin. Nová řada, 26 (2): 197–210, arXiv:matematika / 9201251, doi:10.1090 / s0273-0979-1992-00261-6, PAN 1112424