Bernsteinův polynom - Bernstein polynomial

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Bernsteinovy ​​polynomy aproximující křivku

V matematický pole numerická analýza, a Bernsteinův polynom, pojmenoval podle Sergej Natanovič Bernstein, je polynomiální v Bernsteinova forma, to je a lineární kombinace z Bernsteinovy ​​polynomy.

A numericky stabilní způsob, jak vyhodnotit polynomy ve formě Bernstein je de Casteljauův algoritmus.

Polynomy ve formě Bernsteina poprvé použil Bernstein v konstruktivním důkazu pro Weierstrassova věta o aproximaci. S příchodem počítačové grafiky se Bernsteinovy ​​polynomy, omezené na interval [0, 1], staly důležitými v podobě Bézierovy křivky.

Bernsteinovy ​​polynomy pro míchání křivek 4. stupně

Definice

The n +1 Bernsteinovy ​​polynomy stupně n jsou definovány jako

${ displaystyle b _ { nu, n} (x) = { binom {n} { nu}} x ^ { nu} left (1-x right) ^ {n- nu}, quad nu = 0, ldots, n,}$

kde ${ displaystyle { tbinom {n} { nu}}}$ je binomický koeficient. Například ${ displaystyle b_ {2,5} (x) = { tbinom {5} {2}} x ^ {2} (1-x) ^ {3} = 10x ^ {2} (1-x) ^ { 3}.}$

Prvních několik Bernsteinových základních polynomů pro smíchání 1, 2, 3 nebo 4 hodnot dohromady je:

${ displaystyle { begin {aligned} b_ {0,0} (x) & = 1, b_ {0,1} (x) & = 1-x, & b_ {1,1} (x) & = x b_ {0,2} (x) & = (1-x) ^ {2}, & b_ {1,2} (x) & = 2x (1-x), & b_ {2,2} (x ) & = x ^ {2} b_ {0,3} (x) & = (1-x) ^ {3}, & b_ {1,3} (x) & = 3x (1-x) ^ { 2}, & b_ {2,3} (x) & = 3x ^ {2} (1-x), & b_ {3,3} (x) & = x ^ {3} end {zarovnáno}}}$

Bernsteinovy ​​polynomy stupně n tvoří a základ pro vektorový prostor Π_n polynomů stupně nanejvýšn se skutečnými koeficienty. Lineární kombinace Bernsteinových polynomů

${ displaystyle B_ {n} (x) = součet _ { nu = 0} ^ {n} beta _ { nu} b _ { nu, n} (x)}$

se nazývá a Bernsteinův polynom nebo polynom v Bernsteinově formě stupněn.^[1] Koeficienty ${ displaystyle beta _ { nu}}$ jsou nazývány Bernsteinovy ​​koeficienty nebo Bézierovy koeficienty.

Prvních několik Bernsteinových základních polynomů shora v monomiální formě je:

${ displaystyle { begin {aligned} b_ {0,0} (x) & = 1, b_ {0,1} (x) & = 1-1x, & b_ {1,1} (x) & = 0 + 1x b_ {0,2} (x) & = 1-2x + 1x ^ {2}, & b_ {1,2} (x) & = 0 + 2x-2x ^ {2}, & b_ {2 , 2} (x) & = 0 + 0x + 1x ^ {2} b_ {0,3} (x) & = 1-3x + 3x ^ {2} -x ^ {3}, & b_ {1, 3} (x) & = 0 + 3x-6x ^ {2} + 3x ^ {3}, & b_ {2,3} (x) & = 0 + 0x + 3x ^ {2} -3x ^ {3}, & b_ {3,3} (x) & = 0 + 0x + 0x ^ {2} + 1x ^ {3} end {zarovnáno}}}$

Vlastnosti

Bernsteinovy ​​polynomy mají následující vlastnosti:

• ${ displaystyle b _ { nu, n} (x) = 0}$, pokud ${ displaystyle nu <0}$ nebo ${ displaystyle nu> n.}$

• ${ displaystyle b _ { nu, n} (x) geq 0}$ pro ${ displaystyle x v [0, 1].}$

• ${ displaystyle b _ { nu, n} left (1-x right) = b_ {n- nu, n} (x).}$

• ${ displaystyle b _ { nu, n} (0) = delta _ { nu, 0}}$ a ${ displaystyle b _ { nu, n} (1) = delta _ { nu, n}}$ kde ${ displaystyle delta}$ je Kroneckerova delta funkce: ${ displaystyle delta _ {ij} = { begin {cases} 0 & { text {if}} i neq j, 1 & { text {if}} i = j. end {cases}}}$

• ${ displaystyle b _ { nu, n} (x)}$ má kořen s množstvím ${ displaystyle nu}$ v bodě ${ displaystyle x = 0}$ (poznámka: pokud ${ displaystyle nu = 0}$, při 0) není root.

• ${ displaystyle b _ { nu, n} (x)}$ má kořen s množstvím ${ displaystyle left (n- nu right)}$ v bodě ${ displaystyle x = 1}$ (poznámka: pokud ${ displaystyle nu = n}$, v 1) není root.

• The derivát lze psát jako kombinaci dvou polynomů nižšího stupně:

  ${ Displaystyle b '_ { nu, n} (x) = n vlevo (b _ { nu -1, n-1} (x) -b _ { nu, n-1} (x) vpravo) .}$

• Transformace Bernsteinova polynomu na monomie je

  ${ displaystyle b _ { nu, n} (x) = { binom {n} { nu}} součet _ {k = 0} ^ {n- nu} { binom {n- nu} { k}} (- 1) ^ {n- nu -k} x ^ { nu + k} = sum _ { ell = nu} ^ {n} { binom {n} { ell}} { binom { ell} { nu}} (- 1) ^ { ell - nu} x ^ { ell},}$

a podle inverzní binomická transformace, reverzní transformace je^[2]

${ displaystyle x ^ {k} = součet _ {i = 0} ^ {nk} { binom {nk} {i}} { frac {1} { binom {n} {i}}} b_ { ni, n} (x) = { frac {1} { binom {n} {k}}} sum _ {j = k} ^ {n} { binom {j} {k}} b_ {j , n} (x).}$

• Na neurčito integrální darováno

  ${ displaystyle int b _ { nu, n} (x) dx = { frac {1} {n + 1}} sum _ {j = nu +1} ^ {n + 1} b_ {j, n + 1} (x).}$

• Určitý integrál je pro danou konstantní n:

  ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} b _ { nu, n} (x) dx = { frac {1} {n + 1}} quad , { text {pro všechny}} nu = 0,1, tečky, n.}$

• Li ${ displaystyle n neq 0}$, pak ${ displaystyle b _ { nu, n} (x)}$ má v intervalu jedinečné místní maximum ${ displaystyle [0, 1]}$ na ${ displaystyle x = { frac { nu} {n}}}$. Toto maximum nabývá hodnoty

  ${ displaystyle nu ^ { nu} n ^ {- n} vlevo (n- nu vpravo) ^ {n- nu} {n zvolit nu}.}$

• Bernsteinovy ​​polynomy stupně ${ displaystyle n}$ tvoří a rozdělení jednoty:

  ${ displaystyle sum _ { nu = 0} ^ {n} b _ { nu, n} (x) = sum _ { nu = 0} ^ {n} {n vybrat nu} x ^ { nu} left (1-x right) ^ {n- nu} = left (x + left (1-x right) right) ^ {n} = 1.}$

• Tím, že první ${ displaystyle x}$derivát ${ displaystyle (x + y) ^ {n}}$, léčení ${ displaystyle y}$ jako konstantní, poté dosazením hodnoty ${ displaystyle y = 1-x}$, lze ukázat, že

  ${ displaystyle sum _ { nu = 0} ^ {n} nu b _ { nu, n} (x) = nx.}$

• Podobně druhý ${ displaystyle x}$derivát ${ displaystyle (x + y) ^ {n}}$, s ${ displaystyle y}$ znovu a poté nahrazeno ${ displaystyle y = 1-x}$, ukázat to

  ${ displaystyle sum _ { nu = 1} ^ {n} nu ( nu -1) b _ { nu, n} (x) = n (n-1) x ^ {2}.}$

• Bernsteinův polynom lze vždy psát jako lineární kombinaci polynomů vyššího stupně:

  ${ displaystyle b _ { nu, n-1} (x) = { frac {n- nu} {n}} b _ { nu, n} (x) + { frac { nu +1} { n}} b _ { nu + 1, n} (x).}$

• Expanze Čebyševovy polynomy prvního druhu do Bernsteinova základu je^[3]

  ${ displaystyle T_ {n} (u) = (2n-1) !! součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {(-1) ^ {nk}} {(2k-1)! ! (2n-2k-1) !!}} b_ {k, n} (u).}$

Aproximace spojitých funkcí

Nechat ƒ být spojitá funkce v intervalu [0, 1]. Zvažte Bernsteinův polynom

${ displaystyle B_ {n} (f) (x) = součet _ { nu = 0} ^ {n} f left ({ frac { nu} {n}} right) b _ { nu, n} (x).}$

To lze ukázat

${ displaystyle lim _ {n to infty} {B_ {n} (f)} = f}$

jednotně v intervalu [0, 1].^[4][1][5][6]

Bernsteinovy ​​polynomy tak poskytují jeden způsob, jak dokázat Weierstrassova věta o aproximaci že každá reálná spojitá funkce ve skutečném intervalu [A, b] lze rovnoměrně aproximovat polynomiálními funkcemi${ displaystyle mathbb {R}}$.^[7]

Obecnější prohlášení pro funkci s spojitým k^th derivát je

${ displaystyle { left | B_ {n} (f) ^ {(k)} right |} _ { infty} leq { frac {(n) _ {k}} {n ^ {k }}} left | f ^ {(k)} right | _ { infty} quad { text {and}} quad left | f ^ {(k)} - B_ { n} (f) ^ {(k)} doprava | _ { infty} na 0,}$

kde navíc

${ displaystyle { frac {(n) _ {k}} {n ^ {k}}} = left (1 - { frac {0} {n}} right) left (1 - { frac {1} {n}} right) cdots left (1 - { frac {k-1} {n}} right)}$

je vlastní číslo z B_n; odpovídající vlastní funkce je polynom stupněk.

Pravděpodobnostní důkaz

Tento důkaz navazuje na Bernsteinův původní důkaz z roku 1912.^[8] Viz také Feller (1966) nebo Koralov & Sinai (2007).^[9][10]

Předpokládat K. je náhodná proměnná distribuováno jako počet úspěchů v roce n nezávislý Bernoulliho zkoušky s pravděpodobností X úspěchu v každém pokusu; jinými slovy, K. má binomická distribuce s parametry n aX. Pak máme očekávaná hodnota ${ displaystyle operatorname { mathcal {E}} doleva [{ frac {K} {n}} doprava] = x }$ a

${ displaystyle p (K) = {n zvolit K} x ^ {K} vlevo (1-x vpravo) ^ {n-K} = b_ {K, n} (x)}$

Podle slabý zákon velkého počtu z teorie pravděpodobnosti,

${ displaystyle lim _ {n to infty} {P left ( left | { frac {K} {n}} - x right |> delta right)} = 0}$

pro každého δ > 0. Navíc tento vztah platí jednotně X, což lze vidět z jeho důkazu prostřednictvím Čebyševova nerovnost, s přihlédnutím k tomu, že rozptyl¹⁄_n K., rovná se¹⁄_n X(1−X), je shora omezen¹⁄_(4n) bez ohledu na X.

Protože ƒ, být spojitý v uzavřeném ohraničeném intervalu, musí být rovnoměrně spojité v tomto intervalu se vyvozuje výpis formuláře

${ displaystyle lim _ {n to infty} {P left ( left | f left ({ frac {K} {n}} right) -f left (x right) right | > varepsilon right)} = 0}$

jednotně v X. S přihlédnutím k tomu ƒ je ohraničený (v daném intervalu), který dostane za očekávání

${ displaystyle lim _ {n to infty} { operatorname { mathcal {E}} left ( left | f left ({ frac {K} {n}} right) -f left (x right) right | right)} = 0}$

jednotně v X. Za tímto účelem se rozdělí součet očekávání na dvě části. Na jedné straně rozdíl nepřesahuje ε; tato část nemůže přispět více než εNa druhé straně rozdíl překračuje ε, ale nepřesahuje 2M, kde M je horní mez pro |ƒ(x) |; tato část nemůže přispět více než 2M krát malá pravděpodobnost, že rozdíl překročí ε.

Nakonec je třeba poznamenat, že absolutní hodnota rozdílu mezi očekáváními nikdy nepřekračuje očekávání absolutní hodnoty rozdílu, a

${ displaystyle operatorname { mathcal {E}} doleva [f doleva ({ frac {K} {n}} doprava) doprava] = součet _ {K = 0} ^ {n} f left ({ frac {K} {n}} right) p (K) = sum _ {K = 0} ^ {n} f left ({ frac {K} {n}} right) b_ {K, n} (x) = B_ {n} (f) (x)}$

Základní důkaz

Pravděpodobnostní důkaz lze také přeformulovat elementárním způsobem pomocí základních pravděpodobnostních myšlenek, ale postupuje se přímým ověřením:^{[11][12][13][14][15]}

Lze ověřit následující identity:

(1) ${ displaystyle sum _ {k} {n zvolit k} x ^ {k} (1-x) ^ {n-k} = 1}$

("pravděpodobnost")

(2) ${ displaystyle sum _ {k} {k nad n} {n zvolit k} x ^ {k} (1-x) ^ {n-k} = x}$

("znamenat")

(3) ${ displaystyle sum _ {k} vlevo (x- {k nad n} vpravo) ^ {2} {n zvolit k} x ^ {k} (1-x) ^ {nk} = {x (1-x) nad n}.}$

(„odchylka“)

Ve skutečnosti podle binomické věty

${ displaystyle (1 + t) ^ {n} = součet _ {k} {n zvolit k} t ^ {k},}$

a tuto rovnici lze použít dvakrát ${ displaystyle t { frac {d} {dt}}}$. Identity (1), (2) a (3) snadno následují pomocí substituce ${ displaystyle t = x / (1-x)}$.

V rámci těchto tří identit použijte výše uvedený polynomiální zápis

${ displaystyle b_ {k, n} (x) = {n zvolit k} x ^ {k} (1-x) ^ {n-k},}$

a nechte

${ displaystyle f_ {n} (x) = součet _ {k} f (k / n) , b_ {k, n} (x).}$

Podle identity (1)

${ displaystyle f_ {n} (x) -f (x) = součet _ {k} [f (k / n) -f (x)] , b_ {k, n} (x),}$

aby

${ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | leq sum _ {k} | f (k / n) -f (x) | , b_ {k, n} (x). }$

Od té doby F je rovnoměrně spojitý, daný ${ displaystyle varepsilon> 0}$, tady je ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (a) -f (b) | < varepsilon}$ kdykoli${ displaystyle | a-b | < delta}$. Navíc, kontinuitou, ${ displaystyle M = sup | f | < infty}$. Ale pak

${ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | leq sum _ {| x- {k přes n} | < delta} | f (k / n) -f (x) | , b_ {k, n} (x) + sum _ {| x- {k over n} | geq delta} | f (k / n) -f (x) | , b_ {k, n} (x).}$

První součet je menší než ε. Na druhou stranu podle identity (3) výše a od té doby ${ displaystyle | x-k / n | geq delta}$, druhý součet je ohraničen 2M krát

${ displaystyle sum _ {| xk / n | geq delta} b_ {k, n} (x) leq sum _ {k} delta ^ {- 2} left (x- {k over n} vpravo) ^ {2} b_ {k, n} (x) = delta ^ {- 2} {x (1-x) nad n} < delta ^ {- 2} n ^ {- 1 }.}$

(„Čebyševova nerovnost“)

Z toho vyplývá, že polynomy F_n mají tendenci F jednotně.

Zobecnění na vyšší dimenzi

Bernsteinovy ​​polynomy lze zobecnit na k rozměry. Výsledné polynomy mají formu P_i1(X₁) P_i2(X₂) ... P_ik(X_k).^[16] V nejjednodušším případě pouze produkty jednotkového intervalu [0,1] jsou považovány; ale pomocí afinní transformace řádku lze pro produkty definovat Bernsteinovy ​​polynomy [A₁, b₁] × [A₂, b₂] × ... × [A_k, b_k]. Pro nepřetržitou funkci F na k- skládaný produkt jednotkového intervalu, důkaz toho F(X₁, X₂, ... , X_k) lze jednotně aproximovat pomocí

${ displaystyle sum _ {i_ {1}} sum _ {i_ {2}} cdots sum _ {i_ {k}} {n_ {1} zvolit i_ {1}} {n_ {2} zvolte i_ {2}} cdots {n_ {k} zvolte i_ {k}} f ({i_ {1} nad n_ {1}}, {i_ {2} nad n_ {2}}, tečky , {i_ {k} over n_ {k}}) x_ {1} ^ {i_ {1}} (1-x_ {1}) ^ {n_ {1} -i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} (1-x_ {2}) ^ {n_ {2} -i_ {2}} cdots x_ {k} ^ {i_ {k}} (1-x_ {k}) ^ {n_ {k} -i_ {k}}}$

je přímým rozšířením Bernsteinova důkazu v jedné dimenzi.^[17]

Viz také

• Polynomiální interpolace
• Newtonova forma
• Lagrangeova forma
• Binomický QMF

Poznámky

Reference

• Bernstein, S. (1912), „Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités (Důkaz věty Weierstrassovy na základě počtu pravděpodobností)“ (PDF), Comm. Charkov matematika. Soc., 13: 1–2, Anglický překlad
• Lorentz, G. G. (1953), Bernsteinovy ​​polynomy, University of Toronto Press
• Akhiezer, N. I. (1956), Teorie aproximace (v ruštině), přeložil Charles J. Hyman, Frederick Ungar, s. 30–31, Ruské vydání poprvé publikováno v roce 1940
• Burkill, J. C. (1959), Přednášky o aproximaci polynomy (PDF), Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, s. 7–8
• Goldberg, Richard R. (1964), Metody reálné analýzy „John Wiley & Sons, s. 263–265
• Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (červenec 1993). "Zobecněná parametrická návrhová technika PR-QMF založená na Bernsteinově polynomiální aproximaci". Transakce IEEE při zpracování signálu. 41 (7): 2314–2321. doi:10.1109/78.224242. Zbl  0825.93863.
• Korovkin, P.P. (2001) [1994], „Bernsteinovy ​​polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Natanson, I.P. (1964). Teorie konstruktivních funkcí. Svazek I: Jednotná aproximace. Přeložil Alexis N. Obolensky. New York: Frederick Ungar. PAN  0196340. Zbl  0133.31101.
• Feller, William (1966), Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací, sv. II, John Wiley & Sons, str. 149–150, 218–222
• Beals, Richarde (2004), Analýza. Úvod, Cambridge University Press, str. 95–98, ISBN  0521600472

externí odkazy

• Kac, Marku (1938). „Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein“. Studia Mathematica. 7: 49–51. doi:10,4064 / sm-7-1-49-51.
• Kelisky, Richard Paul; Rivlin, Theodore Joseph (1967). „Iterativy Bernsteinových polynomů“. Pacific Journal of Mathematics. 21 (3): 511. doi:10.2140 / pjm.1967.21.511.
• Stark, E.L. (1981). „Bernstein Polynome, 1912-1955“. V Butzer, P.L. (vyd.). ISNM60. 443–461. doi:10.1007/978-3-0348-9-369-5_40. ISBN  978-3-0348-9369-5.
• Petrone, Sonia (1999). "Náhodné Bernsteinovy ​​polynomy". Scand. J. Stat. 26 (3): 373–393. doi:10.1111/1467-9469.00155.
• Oruc, Halil; Phillips, Geoerge M. (1999). „Zobecnění Bernsteinových polynomů“. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 42: 403–413. doi:10.1017 / S0013091500020332.
• Joy, Kenneth I. (2000). „Bernsteinovy ​​polynomy“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2012-02-20. Citováno 2009-02-28. z University of California, Davis. Všimněte si chyby v mezích součtu v prvním vzorci na straně 9.
• Idrees Bhatti, M .; Bracken, P. (2007). „Řešení diferenciálních rovnic na Bernsteinově polynomiálním základě“. J. Comput. Appl. Matematika. 205: 272–280. doi:10.1016 / j.cam.2006.05.002.
• Casselman, Bille (2008). „Od Béziera po Bernsteina“. Sloupec prvků z Americká matematická společnost
• Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "O generovací funkci pro Bernsteinovy ​​polynomy". AIP Conf. Proc. 1281: 1141. doi:10.1063/1.3497855.
• Doha, E. H .; Bhrawy, A. H .; Saker, M. A. (2011). „Integrals of Bernstein polynomials: An application for the solution of high even-order diferenciální rovnice“. Appl. Matematika. Lett. 24: 559–565. doi:10.1016 / j.aml.2010.11.013.
• Farouki, Rida T. (2012). „Bernsteinův polynomiální základ: retrospektiva stého výročí“. Comp. Pomoc. Geom. Des. 29: 379–419. doi:10.1016 / j.cagd.2012.03.001.
• Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "Aproximace funkcí novou rodinou zobecněných Bernsteinových operátorů". J. Math. Ann. Applic. 450: 244–261. doi:10.1016 / j.jmaa.2016.12.075.
• Weisstein, Eric W. „Bernsteinův polynom“. MathWorld.
• Tento článek včlení materiál od vlastnosti Bernsteinova polynomu na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.