Bernstein – Sato polynom - Bernstein–Sato polynomial
v matematika, Bernstein – Sato polynom je polynom související s diferenciální operátory, představený nezávisle uživatelem Joseph Bernstein (1971 ) a Mikio Sato a Takuro Shintani (1972, 1974 ), Sato (1990). To je také známé jako b-funkce, b-polynoma Bernsteinův polynom, ačkoli to nesouvisí s Bernsteinovy polynomy použito v teorie aproximace. Má aplikace pro teorie singularity, teorie monodromy, a kvantová teorie pole.
Severino Coutinho (1995 ) poskytuje základní úvod, zatímco Armand Borel (1987 ) a Masaki Kashiwara (2003 ) poskytují pokročilejší účty.
Definice a vlastnosti
Li je polynom v několika proměnných, pak existuje nenulový polynom a operátor diferenciálu s polynomiálními koeficienty takovými
Bernstein – Satoův polynom je monický polynom nejmenšího stupně mezi těmito polynomy . Jeho existenci lze ukázat pomocí pojmu holonomický D-moduly.
Kashiwara (1976) dokázal, že všechny kořeny polynomu Bernstein – Sato jsou záporné racionální čísla.
Bernstein – Satoův polynom lze také definovat pro součin sil několika polynomů (Sabbah 1987 ). V tomto případě jde o produkt lineárních faktorů s racionálními koeficienty.[Citace je zapotřebí ]
Nero Budur, Mircea Mustață a Morihiko Saito (2006 ) zobecnil Bernstein – Sato polynom na libovolné odrůdy.
Všimněte si, že Bernstein-Satoův polynom lze vypočítat algoritmicky. Takové výpočty jsou však obecně těžké. Existují implementace souvisejících algoritmů v systémech počítačové algebry RISA / Asir, Macaulay2, a JEDNOTNÉ ČÍSLO.
Daniel Andres, Viktor Levandovskyy a Jorge Martín-Morales (2009 ) představil algoritmy pro výpočet Bernnomen-Sato polynomu afinní odrůdy spolu s implementací do systému počítačové algebry JEDNOTNÉ ČÍSLO.
Christine Berkesch a Anton Leykin (2010 ) popsal některé z algoritmů pro výpočet Bernstein – Sato polynomů počítačem.
Příklady
- Li pak
- takže Bernstein – Satoův polynom je
- Li pak
- tak
- Bernstein – Satoův polynom z X2 + y3 je
- Li tij jsou n2 proměnných, pak Bernstein – Satoův polynom det (tij) darováno
- který vyplývá z
- kde Ω je Cayleyho omega proces, což dále vyplývá z Identita Capelli.
Aplikace
- Li je tedy nezáporný polynom , původně definováno pro s s nezápornou skutečnou částí, může být analyticky pokračovalo do a meromorfní rozdělení -hodnotená funkce s opakovaným používáním funkční rovnice
- Může mít póly kdykoli b(s + n) je nula pro nezáporné celé číslo n.
- Li F(X) je polynom, není identicky nula, má tedy inverzní funkci G to je distribuce;[A] jinými slovy, f g = 1 jako distribuce. Li F(X) je nezáporná, inverzi lze sestrojit pomocí Bernstein-Satoova polynomu konstantním členem Laurentova expanze z F(X)s na s = -1. Pro libovolné F(X) prostě vezměte krát inverzní z
- The Malgrangeova-Ehrenpreisova věta uvádí, že každý operátor diferenciálu s konstantní koeficienty má Greenova funkce. Tím, že Fourierovy transformace vyplývá to ze skutečnosti, že každý polynom má distribuční inverzi, což dokazuje výše uvedený odstavec.
- Pavel Etingof (1999 ) ukázal, jak k definování použít Bernsteinův polynom dimenzionální regularizace důsledně, v masivním euklidovském případě.
- Bernstein-Satoova funkční rovnice se používá při výpočtech některých složitějších druhů singulárních integrálů vyskytujících se v kvantová teorie pole Fjodor Tkachov (1997 ). Takové výpočty jsou potřebné pro přesná měření ve fyzice elementárních částic, jak se praktikuje například v CERN (viz články citující (Tkachov 1997 )). Nejzajímavější případy však vyžadují jednoduché zobecnění Bernstein-Satoovy funkční rovnice na součin dvou polynomů , s X mající 2-6 skalárních složek a dvojici polynomů majících řády 2 a 3. Bohužel, stanovení hrubé síly odpovídajících diferenciálních operátorů a pro takové případy se zatím ukázalo neúnosně těžkopádné. Navrhování způsobů, jak obejít kombinatorickou explozi algoritmu hrubé síly, by mělo v takových aplikacích velkou hodnotu.
Poznámky
- ^ Varování: Inverze není obecně jedinečná, protože pokud F má nuly, pak existují distribuce, jejichž produkt s F je nula a přidání jedné z nich na inverzní hodnotu k F je další inverzní k F.
Reference
- Andres, Daniel; Levandovskyy, Viktor; Martín-Morales, Jorge (2009), „Hlavní křižovatka a Bernstein-Satoův polynom afinní odrůdy“, Proc. ISSAC 2009, Sdružení pro výpočetní techniku: 231, arXiv:1002.3644, doi:10.1145/1576702.1576735
- Berkesch, Christine; Leykin, Anton (2010). "Algoritmy pro Bernstein-Sato polynomy a ideály multiplikátorů". Proc. ISSAC 2010. arXiv:1002.1475. Bibcode:2010arXiv1002.1475B.
- Bernstein, Joseph (1971). "Moduly přes kruh diferenciálních operátorů. Studium základních řešení rovnic s konstantními koeficienty". Funkční analýza a její aplikace. 5 (2): 89–101. doi:10.1007 / BF01076413. PAN 0290097.
- Budur, Nero; Mustață, Mircea; Saito, Morihiko (2006). "Bernstein-Sato polynomy libovolných odrůd". Compositio Mathematica. 142 (3): 779–797. arXiv:matematika / 0408408. Bibcode:2004math ...... 8408B. doi:10.1112 / S0010437X06002193. PAN 2231202.
- Borel, Armand (1987). Algebraické D-moduly. Perspektivy v matematice. 2. Boston, MA: Akademický tisk. ISBN 0-12-117740-8.
- Coutinho, Severino C. (1995). Základní nátěr algebraických D-modulů. Studentské texty London Mathematical Society. 33. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN 0-521-55908-1.
- Etingof, Pavel (1999). Msgstr "Poznámka k rozměrové regularizaci". Kvantová pole a řetězce: Kurz pro matematiky. 1. Providence, R.I .: American Mathematical Society. str. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4. PAN 1701608. (Princeton, NJ, 1996/1997)
- Kashiwara, Masaki (1976). "B-funkce a holonomické systémy. Racionalita kořenů B-funkcí". Inventiones Mathematicae. 38 (1): 33–53. Bibcode:1976InMat..38 ... 33K. doi:10.1007 / BF01390168. PAN 0430304.
- Kashiwara, Masaki (2003). D-moduly a mikrolokální počet. Překlady matematických monografií. 217. Providence, R.I .: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-2766-6. PAN 1943036.
- Sabbah, Claude (1987). „Proximité évanescente. I. La structure polaire d'un D-module“. Compositio Mathematica. 62 (3): 283–328. PAN 0901394.
- Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1972). "O funkcích zeta spojených s prehomogenními vektorovými prostory". Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. 69 (5): 1081–1082. Bibcode:1972PNAS ... 69.1081S. doi:10.1073 / pnas.69.5.1081. JSTOR 61638. PAN 0296079. PMC 426633. PMID 16591979.
- Sato, Mikio; Shintani, Takuro (1974). Msgstr "Na zeta funkce spojené s prehomogenními vektorovými prostory". Annals of Mathematics. Druhá série. 100 (1): 131–170. doi:10.2307/1970844. JSTOR 1970844. PAN 0344230.
- Sato, Mikio (1990) [1970]. "Teorie prehomogenních vektorových prostorů (algebraická část)". Nagojský matematický deník. 120: 1–34. doi:10.1017 / s0027763000003214. PAN 1086566.
anglický překlad Satoovy přednášky ze Shintaniho poznámky
- Tkachov, Fyodor V. (1997). „Algebraické algoritmy pro multiloopové výpočty. Prvních 15 let. Co bude dál?“. Nucl. Instrum. Metody A. 389: 309–313. arXiv:hep-ph / 9609429. Bibcode:1997 NIMPA.389..309T. doi:10.1016 / S0168-9002 (97) 00110-1.