Sférická věta (3-potrubí) - Sphere theorem (3-manifolds)

V matematice, v topologie z 3 rozdělovače, koule věta z Christos Papakyriakopoulos (1957 ) dává podmínky pro to, aby prvky druhé homotopické skupiny 3-potrubí byly reprezentovány vloženými koulemi.

Jedním z příkladů je následující:

Nechat ${displaystyle M}$ být orientovatelný 3-potrubí takové, že ${displaystyle pi _ {2} (M)}$ není triviální skupina. Pak existuje nenulový prvek ${displaystyle pi _ {2} (M)}$ mít zástupce, kterým je vkládání ${displaystyle S ^ {2} o M}$ .

Důkaz této verze věty může být založen na transverzálnost metody, viz Jean-Loïc Batude (1971 ).

Další obecnější verze (nazývaná také věta o projektivní rovině a kvůli David B. A. Epstein ) je:

Nechat ${displaystyle M}$ být libovolné 3-potrubí a ${displaystyle N}$ A ${displaystyle pi _ {1} (M)}$ -neměnný podskupina ${displaystyle pi _ {2} (M)}$ . Li ${displaystyle fcolon S ^ {2} o M}$ je obecná pozice zmapovat takhle ${displaystyle [f] otin N}$ a ${displaystyle U}$ je jakékoli sousedství singulární množiny ${displaystyle Sigma (f)}$ , pak existuje mapa ${displaystyle gcolon S ^ {2} o M}$ uspokojující

${displaystyle [g] otin N}$ ,
${displaystyle g (S ^ {2}) podmnožina f (S ^ {2}) pohár U}$ ,
${displaystyle gcolon S ^ {2} o g (S ^ {2})}$ je krycí mapa, a
${displaystyle g (S ^ {2})}$ je 2stranný dílčí potrubí (2 koule nebo projektivní rovina ) z ${displaystyle M}$ .

citováno v (Hempel, str. 54).

Reference

Batude, Jean-Loïc (1971). „Singularité générique des applications différentiables de la 2-sphère dans une 3-variété différentiable“ (PDF). Annales de l'Institut Fourier. 21 (3): 151–172. doi:10,5802 / aif.383. PAN 0331407.

Epstein, David B. A. (1961). "Projektivní roviny ve 3 rozdělovačích". Proceedings of the London Mathematical Society. 3. ser. 11 (1): 469–484. doi:10,1112 / plms / s3-11.1.469.

Hempel, John (1976). 3 rozdělovače. Annals of Mathematics Studies. 86. Princeton, NJ: Princeton University Press. PAN 0415619.

Papakyriakopoulos, Christos (1957). „O Dehnově lematu a asférickosti uzlů“. Annals of Mathematics. 66 (1): 1–26. doi:10.2307/1970113. JSTOR 1970113. PMC 528404.

Whitehead, J. H. C. (1958). „Na 2 sférách ve 3 rozdělovačích“. Bulletin of the American Mathematical Society. 64 (4): 161–166. doi:10.1090 / S0002-9904-1958-10193-7.