Čarodějnice z Agnesi - Witch of Agnesi

v matematika, čarodějnice z Agnesi (Italská výslovnost:[aɲˈɲeːzi]) je křivka kubické roviny definováno ze dvou diametrálně protilehlých bodů kruhu. Jméno dostává od italského matematika Maria Gaetana Agnesi a z nesprávného překladu italského slova pro a plachetní plachta. Před Agnesi studoval stejnou křivku Fermat, Grandi, a Newton.
The graf derivátu derivátu arkustangens Funkce je příkladem čarodějnice Agnesi funkce hustoty pravděpodobnosti z Cauchyovo rozdělení, čarodějnice Agnesi má aplikace v teorie pravděpodobnosti. Také to vede k Rungeův fenomén v aproximaci funkcí polynomy, byl použit k aproximaci distribuce energie spektrální čáry a modeluje tvar kopců.
Čarodějnice je tečná ke svému definujícímu kruhu v jednom ze dvou definujících bodů a asymptotické do tečna kružnice na druhém místě. Má jedinečný vrchol (bod extrémního zakřivení) v bodě tečnosti s jeho definující kružnicí, která je také jeho oscilační kruh v tom bodě. Má také dvě konečné inflexní body a jeden nekonečný inflexní bod. Plocha mezi čarodějnicí a její asymptotickou čarou je čtyřikrát větší než plocha určující kružnice a objem otáček křivky kolem její definující čáry je dvakrát větší než objem torus revoluce jeho definujícího kruhu.
Konstrukce


Chcete-li sestrojit tuto křivku, začněte libovolnými dvěma body Ó a Ma nakreslete kruh pomocí OM jako průměr. Pro jakýkoli jiný bod A na kruhu, ať N být průsečíkem sekanční čára OA a tečná čára v M.Nechat P být průsečík přímky kolmé na OM přes Aa čára rovnoběžná s OM přes N. Pak P leží na čarodějnici Agnesi. Čarodějnice se skládá ze všech bodů P které lze postavit tímto způsobem ze stejného výběru Ó a M.[1] Zahrnuje to jako omezující případ bod M sám.
Rovnice
Předpokládejme ten bod Ó je na původ a ukázat M leží na pozitivním y-osa, a to kruh s průměrem OM má poloměr APak čarodějnice postavena z Ó a M má kartézskou rovnici[2][3]
Tuto rovnici lze zjednodušit výběrem A = 1/2, do formuláře
Ve své zjednodušené formě je tato křivka graf z derivát z arkustangens funkce.[4]
Čarodějnici z Agnesi lze popsat také parametrické rovnice jehož parametr θ je úhel mezi OM a OA, měřený ve směru hodinových ručiček:[2][3]
Vlastnosti
Hlavní vlastnosti této křivky lze odvodit z integrální počet. Oblast mezi čarodějnicí a její asymptotickou linií je čtyřnásobkem plochy pevné kružnice, .[2][3][5]The objem revoluce čarodějnice z Agnesi o jeho asymptotu je .[2] To je dvojnásobek objemu torus vytvořeno otočením určujícího kruhu čarodějnice kolem stejné linie.[5]
Křivka má jedinečnost vrchol v bodě tečnosti s jeho definujícím kruhem. To znamená, že tento bod je jediným bodem, kde zakřivení dosáhne místního minima nebo místního maxima.[6] Definující kruh čarodějnice je také jeho oscilační kruh na vrcholu,[7] jedinečný kruh, který „políbí“ křivku v tomto bodě sdílením stejné orientace a zakřivení.[8] Protože se jedná o oscilační kruh na vrcholu křivky, má kontakt třetího řádu s křivkou.[9]
Křivka má dvě inflexní body, v bodech
odpovídá úhlům .[2][3] Když se považuje za křivku v projektivní rovina tam je také třetí nekonečný inflexní bod, v bodě kde čára v nekonečnu je překročena asymptotickou čarou. Protože jeden z jejích inflexních bodů je nekonečný, má čarodějnice minimální možný počet konečných reálných inflexních bodů jakékoli nesingulární kubické křivky.[10]
Největší plocha a obdélník to může být zapsáno mezi čarodějnici a její asymptotu je , pro obdélník, jehož výška je poloměr definující kružnice a jehož šířka je dvojnásobkem průměru kružnice.[5]
Dějiny
Rané studie

Křivka byla studována pomocí Pierre de Fermat ve svém pojednání z roku 1659 kvadratura. V něm Fermat vypočítá plochu pod křivkou a (bez podrobností) tvrdí, že stejná metoda se vztahuje i na cissoid Diocles. Fermat píše, že křivka mu byla navržena “ab erudito geometra„[naučeným geometrem].[12] Paradís, Pla & Viader (2008) spekulují, že geometr, který navrhl tuto křivku Fermatovi, mohl být Antoine de Laloubère.[13]
Konstrukci uvedenou výše pro tuto křivku našel Grandi (1718); stejnou konstrukci také dříve našel Isaac Newton, ale publikoval až posmrtně později, v roce 1779.[14]Grandi (1718) také navrhl jméno versiera (v italštině) nebo Versoria (v latině) pro křivku. Latinský termín se také používá pro a prostěradlo lano, které otáčí plachtu, ale Grandi mohl místo toho zamýšlet pouze odkazovat na versine funkce, která se objevila v jeho konstrukci.[5][14][15][16]
V roce 1748 Maria Gaetana Agnesi zveřejněno Institucionální analitiche ad uso della gioventù italiana, raná učebnice o počet.[11]V něm, po prvním zvážení dalších dvou křivek, zahrnuje studium této křivky. Definuje křivku geometricky jako lokus bodů vyhovujících určitému poměru, určuje její algebraickou rovnici a najde její vrchol, asymptotickou linii a inflexní body.[17]
Etymologie
Maria Gaetana Agnesi pojmenoval křivku podle Grandiho, versiera.[15][17] Shodou okolností bylo v té době v Itálii běžné mluvit o ďábel, Boží protivník, jinými slovy jako aversiero nebo versiera, odvozeno z latiny adversarius. VersieraZejména byl používán k označení manželky ďábla nebo „čarodějnice“.[18] Z tohoto důvodu, profesore z Cambridge John Colson nesprávně přeložil název křivky jako „čarodějnice“.[19] Různé moderní práce o Agnesi a o křivce naznačují poněkud odlišné odhady, jak přesně k tomuto nesprávnému překladu došlo.[20][21] Struik uvádí, že:[17]
Slovo [versiera] je odvozen z latiny vertere, ale je to také zkratka italštiny avversiera, ženská ďábelka Některé vtipy v Anglii to jednou přeložily jako „čarodějnice“ a hloupá hříčka je stále láskyplně zachována ve většině našich učebnic v anglickém jazyce. ... Křivka se již objevila ve spisech Fermat (Dílo, I, 279–280; III, 233–234) a dalších; název versiera pochází z Guido Grandi (Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703). Křivka je typu 63 palců Newton klasifikace. ... První, kdo v tomto smyslu použil výraz „čarodějnice“, mohl být B. Williamson, Integrální počet, 7 (1875), 173;[22] vidět Oxfordský anglický slovník.
Na druhou stranu, Stephen Stigler naznačuje, že Grandi sám „se možná oddával slovní hře“, dvojitá hříčka spojující ďábla s versinem a sinusová funkce s tvarem ženského prsu (obojí lze v italštině psát jako „seno“) .[14]
Aplikace
Škálovaná verze křivky je funkce hustoty pravděpodobnosti z Cauchyovo rozdělení. Toto je rozdělení pravděpodobnosti na náhodná proměnná určeno následujícím náhodný experiment: pro pevný bod nad - osa, náhodně zvolit jednotný řádek a nechte být souřadnice bodu, kde tato náhodná čára protíná osu. Distribuce Cauchy má vrcholovou distribuci vizuálně podobnou normální distribuce, ale jeho těžké ocasy zabránit tomu, aby měl očekávaná hodnota obvyklými definicemi, navzdory své symetrii. Pokud jde o samotnou čarodějnici, znamená to, že -koordinátor z těžiště oblasti mezi křivkou a její asymptotickou linií není dobře definována, navzdory symetrii a konečné oblasti této oblasti.[14][23]
v numerická analýza, při přibližování funkcí pomocí polynomiální interpolace s rovnoměrně rozmístěnými interpolačními body může být případ některých funkcí, že použití více bodů vytváří horší aproximace, takže interpolace se liší od funkce, kterou se snaží aproximovat, spíše než konvergovat k ní. Tomuto paradoxnímu chování se říká Rungeův fenomén. Poprvé to objevil Carl David Tolmé Runge pro Rungeovu funkci , další zmenšená verze čarodějnice Agnesi, když interpolovala tuto funkci v daném intervalu . Stejný jev nastává u čarodějnice sám v širším intervalu .[24]
Čarodějnice z Agnesi se blíží spektrální distribuce energie z spektrální čáry, zejména rentgen řádky.[25]
Průřez hladkého kopec má podobný tvar jako čarodějnice.[26] Křivky s tímto tvarem byly použity jako obecná topografická překážka v toku v matematickém modelování.[27][28]Osamělé vlny v hluboké vodě může mít také tento tvar.[29][30]
Verze této křivky byla použita Gottfried Wilhelm Leibniz odvodit Leibnizův vzorec pro π. Tento vzorec je nekonečná řada
lze odvodit rovnicí plochy pod křivkou s integrálem funkce ,za použití Taylor série rozšíření této funkce jako nekonečné geometrické řady a integraci po jednotlivých termínech.[3]
V populární kultuře
Čarodějnice z Agnesi je název románu Roberta Spillera. Zahrnuje scénu, ve které učitel poskytuje verzi historie tohoto pojmu.[31]
Čarodějnice z Agnesi je také název hudebního alba jazzového kvarteta Radius. Obal alba obsahuje obraz konstrukce čarodějnice.[32]
Poznámky
- ^ Eagles, Thomas Henry (1885), „Čarodějnice z Agnesi“, Konstruktivní geometrie rovinných křivek: S mnoha příklady„Macmillan and Company, s. 313–314
- ^ A b C d E Lawrence, J. Dennis (2013), „4.3 Čarodějnice z Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748)“, Katalog speciálních křivek letadel„Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, s. 90–93, ISBN 9780486167664
- ^ A b C d E Yates, Robert C. (1954), „Čarodějnice z Agnesi“, Křivky a jejich vlastnosti (PDF), Klasika ve výuce matematiky, 4, Národní rada učitelů matematiky, s. 237–238
- ^ Cohen, David W .; Henle, James M. (2005), Calculus: The Language of Change, Jones & Bartlett Learning, s. 351, ISBN 9780763729479
- ^ A b C d Larsen, Harold D. (leden 1946), "Čarodějnice z Agnesi", Školní věda a matematika, 46 (1): 57–62, doi:10.1111 / j.1949-8594.1946.tb04418.x
- ^ Gibson, C. G. (2001), Elementární geometrie diferencovatelných křivek: vysokoškolský úvod, Cambridge: Cambridge University Press, Cvičení 9.1.9, s. 131, doi:10.1017 / CBO9781139173377, ISBN 0-521-80453-1, PAN 1855907
- ^ Haftendorn, Dörte (2017), „4.1 Versiera, die Hexenkurve“, Kurven erkunden und verstehen (v němčině), Springer, str. 79–91, doi:10.1007/978-3-658-14749-5, ISBN 978-3-658-14748-8. Oscilační kruh, viz zejména str. 81: „Der erzeugende Kreis ist der Krümmungskreis der weiten Versiera in ihrem Scheitel.“
- ^ Lipsman, Ronald L .; Rosenberg, Jonathan M. (2017), Kalkul s více proměnnými s MATLAB®: S aplikacemi pro geometrii a fyziku, Springer, str. 42, ISBN 9783319650708,
Kruh „líbá“ křivku přesně do druhého řádu, proto dostává název oscilační kruh (z latinského slova „líbání“).
- ^ Fuchs, Dmitriji; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics „Providence, RI: American Mathematical Society, str. 142, doi:10.1090 / mbk / 046, ISBN 978-0-8218-4316-1, PAN 2350979
- ^ Arnold, V. I. (2005), „Princip topologické ekonomie v algebraické geometrii“, Průzkumy v moderní matematice, Série přednášek London Mathematical Society, 321, Cambridge: Cambridge University Press, s. 13–23, doi:10.1017 / CBO9780511614156.003, PAN 2166922. Viz zejména str. 15–16.
- ^ A b Agnesi, Maria Gaetana (1748), Institucionální analitiche ad uso della gioventú italiana Viz zejména problém 3, 380–382, a Obr.135.
- ^ de Fermat, Pierre (1891), Oevres (v latině), 1„Gauthier-Villars et fils, s. 280–285
- ^ Paradís, Jaume; Pla, Josep; Viader, Pelegrí (2008), „Fermatova metoda kvadratury“, Revue d'Histoire des Mathématiques, 14 (1): 5–51, PAN 2493381
- ^ A b C d Stigler, Stephen M. (Srpen 1974), "Studies in the History of Probability and Statistics. XXXIII. Cauchy and the Witch of Agnesi: An Historical Note on the Cauchy Distribution", Biometrika, 61 (2): 375–380, doi:10.1093 / biomet / 61.2.375, JSTOR 2334368, PAN 0370838
- ^ A b Truesdell, C. (1991), „Opravy a dodatky pro“ Maria Gaetana Agnesi"", Archiv pro historii přesných věd, 43 (4): 385–386, doi:10.1007 / BF00374764,
[…] Nata da 'seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera v latino pero Versoria […]
- ^ Grandi, G. (1718), „Note al trattato del Galileo del moto naturale accellerato“, Opera Di Galileo Galilei (v italštině), III, Florencie, s. 393. Jak uvádí Stigler (1974).
- ^ A b C Překlad Agnesiho práce na této křivce lze nalézt v: Struik, Dirk J. (1969), Zdrojová kniha z matematiky, 1200–1800, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, s. 178–180
- ^ Pietro Fanfani, Vocabolario dell'uso toscano, str. 334
- ^ Mulcrone, T. F. (1957), „Názvy křivky Agnesi“, Americký matematický měsíčník, 64 (5): 359–361, doi:10.2307/2309605, JSTOR 2309605, PAN 0085163
- ^ Singh, Simon (1997), Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem, New York: Walker and Company, s.100, ISBN 0-8027-1331-9, PAN 1491363
- ^ Miláčku, Davide (2004), Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's ParadoxesHoboken, NJ: John Wiley & Sons, str. 8, ISBN 0-471-27047-4, PAN 2078978
- ^ Oxfordský anglický slovník, Oxford University Press, 2018, čarodějnice, n.2, 4 (e), vyvoláno 3. července 2018,
1875 B. Williamson Elem. Zacházet. Integrální počet vii. 173 Najděte oblast mezi čarodějnicí Agnesi a jeho asymptota.
- ^ Alexander, J. McKenzie (2012), „Teorie rozhodování se setkává s čarodějnicí z Agnesi“, Journal of Philosophy, 109 (12): 712–727, doi:10,5840 / jphil20121091233
- ^ Cupillari, Antonella; DeThomas, Elizabeth (jaro 2007), „Odhalení čarodějného chování funkce Runge“, Matematika a počítačové vzdělávání, 41 (2): 143–156, ProQuest 235858817
- ^ Spencer, Roy C. (září 1940), „Vlastnosti čarodějnice z Agnesi - aplikace pro přizpůsobení tvarům spektrálních čar“, Journal of the Optical Society of America, 30 (9): 415, Bibcode:1940JOSA ... 30..415S, doi:10,1364 / josa.30.000415
- ^ Coppin, P. A .; Bradley, E. F .; Finnigan, J. J. (duben 1994), „Měření průtoku přes podlouhlý hřeben a jeho závislost na tepelné stabilitě: Střední pole“, Mezní vrstva meteorologie, 69 (1–2): 173–199, Bibcode:1994BoLMe..69..173C, doi:10.1007 / bf00713302,
Užitečnou obecnou formou pro tvar kopce je takzvaný profil „Čarodějnice z Agnesi“
- ^ Snyder, William H .; Thompson, Roger S .; Eskridge, Robert E .; Lawson, Robert E .; Castro, Ian P .; Lee, J. T .; Hunt, Julian C. R .; Ogawa, Yasushi (březen 1985), „Struktura silně stratifikovaného toku přes kopce: koncept dělícího proudu“, Journal of Fluid Mechanics, 152 (–1): 249, Bibcode:1985JFM ... 152..249S, doi:10.1017 / s0022112085000684
- ^ Jehněčí, Kevin G. (únor 1994), „Numerické simulace vrstevnatého neviditelného proudění přes hladkou překážku“ (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 260 (–1): 1, Bibcode:1994JFM ... 260 .... 1L, doi:10.1017 / s0022112094003411, archivovány z originál (PDF) dne 6. ledna 2014
- ^ Benjamin, T. Brooke (září 1967), „Vnitřní vlny trvalé formy v tekutinách velké hloubky“, Journal of Fluid Mechanics, 29 (3): 559, Bibcode:1967JFM .... 29..559B, doi:10.1017 / s002211206700103x
- ^ Noonan, Julie A .; Smith, Roger K. (září 1985), „Lineární a slabě nelineární teorie vnitřních vln aplikované na vlny„ ranní slávy ““, Geofyzikální a astrofyzikální dynamika tekutin, 33 (1–4): 123–143, Bibcode:1985GApFD..33..123N, doi:10.1080/03091928508245426
- ^ Phillips, Dave (12. září 2006), „Místní učitel, autor počítá matematiku do knih“, Noviny
- ^ Radius - Witch Of Agnesi (Plutonium Records, 2002), Discogs, vyvoláno 28. května 2018
externí odkazy
- „Čarodějnice z Agnesi“ v seznamu známých křivek MacTutoru
- Weisstein, Eric W., "Čarodějnice z Agnesi", MathWorld
- Čarodějnice z Agnesi Chris Boucher na základě práce od Eric W. Weisstein, Demonstrační projekt Wolfram.
- „Witch of Agnesi“ ve společnosti „mathcurve“
- Jehněčí, Evelyn (28. května 2018), „Několik mých oblíbených prostor: Čarodějnice z Agnesi“, Kořeny jednoty, Scientific American