Binet – Cauchyova identita - Binet–Cauchy identity

v algebra, Binet – Cauchyova identita, pojmenoval podle Jacques Philippe Marie Binet a Augustin-Louis Cauchy, tvrdí, že^[1]

${displaystyle {iggl (} součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {iggr)} {iggl (} součet _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ { j} {iggr)} = {iggl (} součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {iggr)} {iggl (} součet _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {iggr)} + ​​součet _ {1leq i$

pro každou volbu nemovitý nebo komplexní čísla (nebo obecněji prvky a komutativní prsten ). Nastavení A_i = C_i a b_j = d_j, dává Lagrangeova identita, což je silnější verze Cauchy – Schwarzova nerovnost pro Euklidovský prostor ${displaystyle extstyle mathbb {R} ^ {n}}$.

Binet – Cauchyova identita a vnější algebra

Když n = 3, první a druhý člen na pravé straně se stanou čtvercovými veličinami tečka a křížové výrobky respektive; v n rozměry se stávají veličinami tečky a klínové výrobky. Můžeme to napsat

${displaystyle (acdot c) (bcdot d) = (acdot d) (bcdot c) + (awedge b) cdot (cwedge d)}$

kde A, b, C, a d jsou vektory. To může také být psáno jako vzorec dávající tečkový produkt dvou klínových produktů, as

${displaystyle (awedge b) cdot (cwedge d) = (acdot c) (bcdot d) - (acdot d) (bcdot c) ,,}$

které lze zapsat jako

${displaystyle (a imes b) cdot (c imes d) = (acdot c) (bcdot d) - (acdot d) (bcdot c)}$

v n = 3 případ.

Ve zvláštním případě A = C a b = d, výtěžek vzorce

${displaystyle | awedge b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | acdot b | ^ {2}.}$

Když obojí A a b jsou jednotkové vektory, získáme obvyklý vztah

${displaystyle sin ^ {2} phi = 1-cos ^ {2} phi}$

kde φ je úhel mezi vektory.

Einsteinova notace

Vztah mezi Symboly Levi – Cevita a zobecněný Kroneckerova delta je

${displaystyle {frac {1} {k!}} varepsilon ^ {lambda _ {1} cdots lambda _ {k} mu _ {k + 1} cdots mu _ {n}} varepsilon _ {lambda _ {1} cdots lambda _ {k} u _ {k + 1} cdots u _ {n}} = delta _ {u _ {k + 1} cdots u _ {n}} ^ {mu _ {k + 1} cdots mu _ {n }} ,.}$

The ${displaystyle (awedge b) cdot (cwedge d) = (acdot c) (bcdot d) - (acdot d) (bcdot c)}$ formu identity Binet – Cauchy lze zapsat jako

${displaystyle {frac {1} {(n-2)!}} vlevo (varepsilon ^ {mu _ {1} cdots mu _ {n-2} alpha eta} ~ a_ {alpha} ~ b_ {eta} ight) vlevo (varepsilon _ {mu _ {1} cdots mu _ {n-2} gamma delta} ~ c ^ {gamma} ~ d ^ {delta} ight) = delta _ {gamma delta} ^ {alpha eta} ~ a_ {alpha } ~ b_ {eta} ~ c ^ {gamma} ~ d ^ {delta} ,.}$

Důkaz

Rozšíření posledního období

${displaystyle sum _ {1leq i$

${displaystyle = součet _ {1leq i$

kde druhý a čtvrtý výraz jsou stejné a uměle přidané k doplnění součtů následujícím způsobem:

${displaystyle = sum _ {i = 1} ^ {n} součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} -sum _ {i = 1} ^ {n} součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}$

Tím se dokončí důkaz po vyřazení pojmů indexovaných pomocí i.

Zobecnění

Obecná forma, známá také jako Cauchy – Binetův vzorec, uvádí následující: Předpokládejme A je m×n matice a B je n×m matice. Li S je podmnožina z {1, ..., n} s m prvky, píšeme A_S pro m×m matice, jejíž sloupce jsou tyto sloupce A které mají indexy z S. Podobně píšeme B_S pro m×m matice jehož řádky jsou ty řádky B které mají indexy z S. Pak určující z maticový produkt z A a B uspokojuje identitu

${displaystyle det (AB) = sum _ {scriptstyle Ssubset {1, ldots, n} na vrcholu scriptstyle | S | = m} det (A_ {S}) det (B_ {S}),}$

kde součet přesahuje všechny možné podmnožiny S z {1, ..., n} s m elementy.

Původní identitu získáme jako speciální případ nastavením

${displaystyle A = {egin {pmatrix} a_ {1} & dots & a_ {n} b_ {1} & dots & b_ {n} end {pmatrix}}, quad B = {egin {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} vdots & vdots c_ {n} & d_ {n} end {pmatrix}}.}$

Řádkové poznámky a reference