Překážka konečnosti stěn - Walls finiteness obstruction - Wikipedia

v geometrická topologie, pole v matematice, překážka do konečně ovládaného prostoru X bytost ekvivalent homotopy na konečnou CW-komplex je jeho Překážka konečnosti stěny w (X) což je prvek v redukovaném nulu algebraická K-teorie ${ displaystyle { widetilde {K}} _ {0} ( mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)])}$ integrálu skupinové vyzvánění ${ displaystyle mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)]}$. Je pojmenována po matematikovi C. T. C. Wall.

Podle práce John Milnor^[1] na konečně ovládaných prostorech se při pronajímání neztratí žádná obecnost X být komplexem CW. A konečná nadvláda z X je konečný CW komplex K. společně s mapami ${ displaystyle r: K až X}$ a ${ displaystyle i dvojtečka X až K}$ takhle ${ displaystyle r circ i simeq 1_ {X}}$. Stavbou kvůli Milnorovi je možné ji rozšířit r k homotopické ekvivalenci ${ displaystyle { bar {r}} dvojtečka { bar {K}} až X}$ kde ${ displaystyle { bar {K}}}$ je CW-komplex získaný z K. připojením buněk k usmrcení relativních skupin homotopy ${ displaystyle pi _ {n} (r)}$.

Prostor ${ displaystyle { bar {K}}}$ bude konečný pokud jsou všechny relativní homotopické skupiny definitivně generovány. Wall ukázal, že tomu tak bude tehdy a jen tehdy, když jeho překážka konečnosti zmizí. Přesněji řečeno, pomocí teorie pokrytí vesmíru a Hurewiczova věta lze identifikovat ${ displaystyle pi _ {n} (r)}$ s ${ displaystyle H_ {n} ({ widetilde {X}}, { widetilde {K}})}$. Wall pak ukázal, že komplex buněčných řetězců ${ displaystyle C _ {*} ({ widetilde {X}})}$ je řetězová homotopie ekvivalentní řetězovému komplexu ${ displaystyle A _ {*}}$ konečného typu projektivní ${ displaystyle mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)]}$-moduly a to ${ displaystyle H_ {n} ({ widetilde {X}}, { widetilde {K}}) cong H_ {n} (A _ {*})}$ budou definitivně vygenerovány právě tehdy, pokud tyto moduly jsou stabilně zdarma. Stabilně volné moduly mizí ve snížené teorii K. To motivuje k definici

${ displaystyle w (X) = součet _ {i} (- 1) ^ {i} [A_ {i}] in { widetilde {K}} _ {0} ( mathbb {Z} [ pi _ {1} (X)])}$.

Viz také

• Algebraická K-teorie
• Torze Whitehead

Reference

• Varadarajan, Kalathoor (1989), Překážka konečnosti C. T. C. Wall, Série monografií a pokročilých textů Kanadské matematické společnosti, New York: John Wiley & Sons Inc., ISBN  978-0-471-62306-9, PAN  0989589.
• Ferry, Steve; Ranicki, Andrew (2001), „Průzkum Wallovy překážky konečnosti“, Surveys on Surgery Theory, sv. 2, Annals of Mathematics Studies, 149, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. 63–79, arXiv:matematika / 0008070, Bibcode:2000math ...... 8070F, PAN  1818772.
• Rosenberg, Jonathan (2005), "K.-teorie a geometrická topologie ", in Friedlander, Eric M.; Grayson, Daniel R. (eds.), Příručka K.-Teorie (PDF), Berlín: Springer, str. 577–610, doi:10.1007/978-3-540-27855-9_12, ISBN  978-3-540-23019-9, PAN  2181830