Povrch kanálu

povrch kanálu: directrix je a spirála, s jeho generujícími koulemi

povrch potrubí: directrix je šroubovice s vytvářejícími koulemi

povrch potrubí: directrix je šroubovice

A kanál nebo povrch kanálu je povrch vytvořený jako obálka rodiny koulí, jejichž střed leží na prostorové křivce, její directrix. Pokud jsou poloměry generujících koulí konstantní, nazývá se povrch kanálu povrch potrubí. Jednoduché příklady jsou:

pravý kruhový válec (povrch potrubí, přímka je přímka, osa válce)
torus (povrch potrubí, directrix je kruh),
pravý kruhový kužel (povrch kanálu, přímka je přímka (osa), poloměry koulí nejsou konstantní),
povrch otáčení (povrch kanálu, přímka je přímka),

Povrchy kanálů hrají v popisné geometrii zásadní roli, protože v případě ortografické projekce lze její obrysovou křivku nakreslit jako obálku kruhů.

V technické oblasti lze použít povrchy kanálů míchání povrchů hladce.

Obálka tužky implicitních povrchů

Vzhledem k tužce implicitní povrchy

{ displaystyle Phi _ {c}: f ({ mathbf {x}}, c) = 0, c v [c_ {1}, c_ {2}]}

,

dva sousední povrchy ${ displaystyle Phi _ {c}}$ a ${ displaystyle Phi _ {c + Delta c}}$ protínají křivku, která splňuje rovnice

{ displaystyle f ({ mathbf {x}}, c) = 0}

a

{ displaystyle f ({ mathbf {x}}, c + Delta c) = 0}

.

Pro limit ${ displaystyle Delta c až 0}$ jeden dostane ${ displaystyle f_ {c} ({ mathbf {x}}, c) = lim _ { Delta c až 0} { frac {f ({ mathbf {x}}, c) -f ( { mathbf {x}}, c + Delta c)} { Delta c}} = 0}$ Poslední rovnice je důvodem pro následující definici.

Nechat ${ displaystyle Phi _ {c}: f ({ mathbf {x}}, c) = 0, c v [c_ {1}, c_ {2}]}$ být 1parametrová tužka pravidelného implicitního ${ displaystyle C ^ {2}}$ povrchy ( ${ displaystyle f}$ nejméně dvakrát nepřetržitě diferencovatelné). Povrch definovaný dvěma rovnicemi
${ displaystyle f ({ mathbf {x}}, c) = 0, quad f_ {c} ({ mathbf {x}}, c) = 0}$

je obálka dané tužky ploch.^[1]

Nechat ${ displaystyle Gamma: { mathbf {x}} = { mathbf {c}} (u) = (a (u), b (u), c (u)) ^ { nahoru}}$ být pravidelnou prostorovou křivkou a ${ displaystyle r (t)}$ A ${ displaystyle C ^ {1}}$ -funkce s ${ displaystyle r> 0}$ a ${ displaystyle | { dot {r}} | < | { dot { mathbf {c}}} |}$ . Poslední podmínka znamená, že zakřivení křivky je menší než zakřivení odpovídající koule. Obálka 1parametrické tužky koulí

{ displaystyle f ({ mathbf {x}}; u): = { big |} { mathbf {x}} - { mathbf {c}} (u) { big |} ^ {2 } -r (u) ^ {2} = 0}

se nazývá a povrch kanálu a ${ displaystyle Gamma}$ své directrix. Pokud jsou poloměry konstantní, nazývá se to a povrch potrubí.

Parametrické znázornění povrchu kanálu

Stav obálky

{ displaystyle f_ {u} ({ mathbf {x}}, u) = 2 { Big (} - { big (} { mathbf {x}} - { mathbf {c}} (u) { big)} ^ { top} { dot { mathbf {c}}} (u) -r (u) { dot {r}} (u) { Big)} = 0}

výše povrchu kanálu je pro jakoukoli hodnotu ${ displaystyle u}$ rovnice roviny, která je kolmá na tečnu ${ displaystyle { dot { mathbf {c}}} (u)}$ directrix. Proto je obálka sbírkou kruhů. Tato vlastnost je klíčem k parametrickému znázornění povrchu kanálu. Střed kruhu (pro parametr ${ displaystyle u}$ ) má vzdálenost ${ displaystyle d: = { frac {r { dot {r}}} { | { dot { mathbf {c}}} |}}$ (viz podmínka výše) od středu příslušné koule a její poloměr je ${ displaystyle { sqrt {r ^ {2} -d ^ {2}}}}$ . Proto

${ displaystyle { mathbf {x}} = { mathbf {x}} (u, v): = { mathbf {c}} (u) - { frac {r (u) { dot {r} } (u)} { | { dot { mathbf {c}}} (u) | ^ {2}}} { dot { mathbf {c}}} (u) + r (u) { sqrt {1 - { frac {{ dot {r}} (u) ^ {2}} { | { dot { mathbf {c}}} (u) | ^ {2}}}} } { big (} { mathbf {e}} _ {1} (u) cos (v) + { mathbf {e}} _ {2} (u) sin (v) { big)} ,}$

kde vektory ${ displaystyle { mathbf {e}} _ {1}, { mathbf {e}} _ {2}}$ a tečný vektor ${ displaystyle { dot { mathbf {c}}} / | { dot { mathbf {c}}} |}$ tvoří ortonormální základ, je parametrické znázornění povrchu kanálu.^[2]

Pro ${ displaystyle { dot {r}} = 0}$ jeden dostane parametrické vyjádření a trubka povrch:

${ displaystyle { mathbf {x}} = { mathbf {x}} (u, v): = { mathbf {c}} (u) + r { big (} { mathbf {e}} _ {1} (u) cos (v) + { mathbf {e}} _ {2} (u) sin (v) { big)}.}$

uzel potrubí

povrch kanálu: cyklopid Dupin

Příklady

a) První obrázek ukazuje povrch kanálu s

spirála ${ displaystyle ( cos (u), sin (u), 0,25 u), u v [0,4]}$ jako directrix a
funkce poloměru ${ displaystyle r (u): = 0,2 + 0,8u / 2 pi}$ .
Volba pro ${ displaystyle { mathbf {e}} _ {1}, { mathbf {e}} _ {2}}$ je následující: