Překladová plocha (diferenciální geometrie) - Translation surface (differential geometry)

Překladová plocha: definice

v diferenciální geometrie A překladová plocha je povrch který je generován překlady:

Pro dva prostorové křivky ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ se společným bodem ${ displaystyle P}$ křivka ${ displaystyle c_ {1}}$ je posunuta tak, že bod ${ displaystyle P}$ jde dál ${ displaystyle c_ {2}}$ . Tímto postupem křivka ${ displaystyle c_ {1}}$ generuje povrch: překladová plocha.

Pokud jsou obě křivky obsaženy ve společné rovině, je translační plocha rovinná (část roviny). Tento případ je obecně ignorován.

elipsa. paraboloid, parabol. válec, hyperbol. paraboloid jako povrch překladu

překladová plocha: generujícími křivkami jsou sinusový oblouk a parabolový oblouk

Posun vodorovného kruhu podél šroubovice

Jednoduchý příklady:

Pravý kruhový válec: ${ displaystyle c_ {1}}$ je kruh (nebo jiný průřez) a ${ displaystyle c_ {2}}$ je čára.
The eliptický paraboloid ${ displaystyle ; z = x ^ {2} + y ^ {2} ;}$ lze generovat pomocí ${ displaystyle c_ {1}: ; (x, 0, x ^ {2}) }$ a ${ displaystyle c_ {2}: ; (0, y, y ^ {2}) }$ (obě křivky jsou paraboly ).
The hyperbolický paraboloid ${ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$ lze generovat pomocí ${ displaystyle c_ {1} :( x, 0, x ^ {2})}$ (parabola) a ${ displaystyle c_ {2} :( 0, y, -y ^ {2})}$ (dolů otevřená parabola).

Překladové povrchy jsou populární v deskriptivní geometrie^[1]^[2] a architektura^[3], protože je lze snadno modelovat.
v diferenciální geometrie minimální plochy jsou reprezentovány překladovými plochami nebo jako střední akordové plochy (s. níže)^[4].

Zde definované překladové plochy by neměly být zaměňovány s překladové plochy v složitá geometrie.

Parametrické znázornění

Pro dvě prostorové křivky ${ displaystyle c_ {1}: ; { vec {x}} = gamma _ {1} (u) }$ a ${ displaystyle c_ {2}: ; { vec {x}} = gamma _ {2} (v) }$ s ${ displaystyle gamma _ {1} (0) = gamma _ {2} (0) = { vec {0}}}$ překladovou plochu ${ displaystyle Phi}$ může být reprezentován^[5]:

(TS)

{ displaystyle quad { vec {x}} = gamma _ {1} (u) + gamma _ {2} (v) ;}

a obsahuje původ. Je zřejmé, že tato definice je symetrická, pokud jde o křivky ${ displaystyle c_ {1}}$ a ${ displaystyle c_ {2}}$ . Proto se volají obě křivky generatrices (jeden: generatrix ). Jakýkoli bod ${ displaystyle X}$ povrchu je obsažena v posunuté kopii ${ displaystyle c_ {1}}$ a ${ displaystyle c_ {2}}$ resp tečná rovina v ${ displaystyle X}$ je generováno tečnami vektorů generatric v tomto bodě, pokud jsou tyto vektory lineárně nezávislé.

Pokud je předpoklad ${ displaystyle gamma _ {1} (0) = gamma _ {2} (0) = { vec {0}}}$ není splněn, povrch je definován (TS) nemusí obsahovat počátek a křivky ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ . V každém případě však povrch obsahuje posunuté kopie kterékoli z křivek ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ jako parametrické křivky ${ displaystyle { vec {x}} (u_ {0}, v)}$ a ${ displaystyle { vec {x}} (u, v_ {0})}$ resp.

Dvě křivky ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ lze použít k vygenerování tzv. odpovídajícího povrch středního akordu. Jeho parametrické znázornění je

(MCS)

{ displaystyle quad { vec {x}} = { frac {1} {2}} ( gamma _ {1} (u) + gamma _ {2} (v)) ;.}

Helicoid jako translační povrch a povrch středního akordu

Helicoid jako překladová plocha se stejnými obecnými údaji

{ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}

Helicoid jako translační povrch: libovolná parametrická křivka je posunutou kopií fialové šroubovice.

A vrtulník je speciální případ a generalizovaný vrtulník a a ovládaný povrch. Je to příklad a minimální povrch a může být reprezentován jako překladová plocha.

Helikoid s parametrickým vyjádřením

{ displaystyle { vec {x}} (u, v) = (u cos v, u sin v, kv)}

má otočit směnu (Německy: Ganghöhe) ${ displaystyle 2 pi k}$ . Představujeme nové parametry ${ displaystyle alpha, varphi}$ ^[6] takhle

{ displaystyle u = 2a cos left ({ frac { alpha - varphi} {2}} right) , v = { frac { alpha + varphi} {2}}}

a ${ displaystyle a}$ kladné reálné číslo, získá se nová parametrická reprezentace

${ displaystyle { vec {X}} ( alpha, varphi) = left (a cos alpha + a cos varphi ;, ; a sin alpha + a sin varphi ; , ; { frac {k alpha} {2}} + { frac {k varphi} {2}} vpravo)}$

{ displaystyle = (a cos alfa, a sin alfa, { frac {k alpha} {2}}) + (a cos varphi, a sin varphi, { frac { k varphi} {2}}) ,}

což je parametrické vyjádření překladové plochy s těmito dvěma identické (!) generatrices

{ displaystyle c_ {1}: ; gamma _ {1} = { vec {X}} ( alpha, 0) = left (a + a cos alpha, a sin alpha, { frac {k alpha} {2}} vpravo) quad}

a

{ displaystyle c_ {2}: ; gamma _ {2} = { vec {X}} (0, varphi) = left (a + a cos varphi, a sin varphi, { frac {k varphi} {2}} vpravo) .}

Společným bodem použitým pro diagram je ${ displaystyle P = { vec {X}} (0,0) = (2a, 0,0)}$ . (Identické) generatiky jsou šroubovice s otočným posunem ${ displaystyle k pi ;,}$ které leží na válci s rovnicí ${ displaystyle (x-a) ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$ . Libovolná parametrická křivka je posunutou kopií generatrixu ${ displaystyle c_ {1}}$ (ve schématu: fialová) a je obsažena v pravém kruhovém válci o poloměru ${ displaystyle a}$ , který obsahuje z-osa.

Nová parametrická reprezentace představuje pouze takové body helikoidu, které jsou uvnitř válce s rovnicí ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 4a ^ {2}}$ .

Helicoid jako povrch středního akordu dvou identických přímek (zelená šroubovice).

Z nové parametrické reprezentace je zřejmé, že helikoid je také povrchem středního akordu:

{ displaystyle { begin {aligned} { vec {X}} ( alpha, varphi) & = left (a cos alpha, a sin alpha, { frac {k alpha} {2 }} right) + left (a cos varphi, sin varphi, { frac {k varphi} {2}} right) [5pt] & = { frac {1 } {2}} ( delta _ {1} ( alpha) + delta _ {2} ( varphi)) , quad end {zarovnáno}}}

kde

{ displaystyle d_ {1}: { vec {x}} = delta _ {1} ( alpha) = (2a cos alpha, 2a sin alpha, k alpha) , quad}

a

{ displaystyle d_ {2}: { vec {x}} = delta _ {2} ( varphi) = (2a cos varphi, 2a sin varphi, k varphi) , quad}

jsou dvě identické generatiky.

V diagramu: ${ displaystyle P_ {1}: delta _ {1} ( alpha _ {0})}$ leží na šroubovici ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}: delta _ {2} ( varphi _ {0})}$ na (stejné) šroubovici ${ displaystyle d_ {2}}$ . Střed akordu je ${ displaystyle M: { frac {1} {2}} ( delta _ {1} ( alpha _ {0}) + delta _ {2} ( varphi _ {0})) = { vec {X}} ( alpha _ {0}, varphi _ {0}) }$ .

Výhody překladové plochy

Architektura

Povrch (například střechu) lze vyrobit pomocí a přípravek pro křivku ${ displaystyle c_ {2}}$ a několik stejných křivek křivky ${ displaystyle c_ {1}}$ . Přípravky lze navrhovat bez jakýchkoli znalostí matematiky. Umístěním přípravků je třeba dodržovat pouze pravidla překladové plochy.

Deskriptivní geometrie

Založení a paralelní projekce translační plochy jeden 1) musí vytvořit projekce dvou generatric, 2) vytvořit souřadnici křivky ${ displaystyle c_ {1}}$ a 3) pomocí tohoto přípravku nakreslete kopie křivky s ohledem na pravidla translační plochy. Obrys povrchu je obálkou křivek nakreslených přípravkem. Tento postup funguje pro ortogonální a šikmé projekce, ale ne pro centrální projekce.

Diferenciální geometrie

Pro překladovou plochu s parametrickou reprezentací ${ displaystyle { vec {x}} (u, v) = gamma _ {1} (u) + gamma _ {2} (v) ;}$ the částečné derivace z ${ displaystyle { vec {x}} (u, v)}$ jsou jednoduché derivace křivek. Proto jsou smíšené deriváty vždy ${ displaystyle 0}$ a koeficient ${ displaystyle M}$ z druhá základní forma je ${ displaystyle 0}$ , také. Toto je zásadní usnadnění pro prokázání, že (například) helikoid je minimální povrch.

Reference

^ H. Brauner: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie, Springer-Verlag, 2013,ISBN 3709187788, 9783709187784, str. 236
^ Fritz Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488, 9783709181485, str. 208
^ Hans Schober: Transparente Schalen: Forma, Topologie, Tragwerk, John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X9783433605981, S. 74
^ Wilhelm Blaschke, Kurt Reidemeister: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013,ISBN 364247392X, 9783642473920, str. 94
^ Erwin Kruppa: Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673, 9783709178676, str. 45
^ J.C.C. Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196, 9783642656194, str. 59

G. Darboux: Leçons sur la théorie générale des povrchy a další aplikace géométriques du calcul infinitésimal , 1–4, Chelsea, dotisk, 972, s. Sekty. 81–84, 218
Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik, Springer-Verlag, 2014, ISBN 364241852X, str. 259
W. Haack: Elementare Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869509, str. 140
C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Kohlhammer Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, str. 122
D.J. Struik: Přednášky o klasické diferenciální geometrii , Dover, dotisk, 1988, s. 103, 109, 184

externí odkazy

Encyclopedia of Mathematics

[1] H. Brauner: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie, Springer-Verlag, 2013,ISBN 3709187788, 9783709187784, str. 236

[2] Fritz Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709181488, 9783709181485, str. 208

[3] Hans Schober: Transparente Schalen: Forma, Topologie, Tragwerk, John Wiley & Sons, 2015, ISBN 343360598X9783433605981, S. 74

[4] Wilhelm Blaschke, Kurt Reidemeister: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013,ISBN 364247392X, 9783642473920, str. 94

[5] Erwin Kruppa: Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3709178673, 9783709178676, str. 45

[6] J.C.C. Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642656196, 9783642656194, str. 59

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]