Zobecněný vrtulník - Generalized helicoid

zobecněný helicoid: meridián je parabola

V geometrii, a generalizovaný vrtulník je povrch v euklidovském prostoru generovaný otáčením a současným přemísťováním křivky, křivka profilu, podél čáry, jeho osa. Libovolný bod dané křivky je výchozím bodem kružnice spirála. Pokud je křivka profilu obsažena v rovině procházející osou, nazývá se poledník generalizovaného helikoidu. Jednoduché příklady zobecněných helikoidů jsou helikoidy. Poledník helicoidu je přímka, která protíná osu kolmo.

Základní typy zobecněných helikoidů jsou

vládl generalizovaným helikoidům. Jejich profilové křivky jsou čáry a povrchy jsou ovládané povrchy.
kruhové generalizované helikoidy. Jejich profilové křivky jsou kruhy.

V matematice hrají helikoidy zásadní roli jako minimální povrchy.V technické oblasti se obecné helikoidy používají pro schodiště, skluzavky, šrouby a potrubí.

Analytická reprezentace

šroubový pohyb bodu
zelená: hřiště,
modrá: osa šroubu

Šroubový pohyb bodu

Posunutí bodu na křivce typu šroubu znamená, že se bod otočí a posune podél čáry (osy) tak, aby posun byl úměrný úhlu natočení. Výsledkem je oběžník spirála.

Pokud je osa z-osa, pohyb bodu ${ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ lze popsat parametricky pomocí

{ displaystyle mathbf {p} ( varphi) = { začátek {pmatrix} x_ {0} cos varphi -y_ {0} sin varphi x_ {0} sin varphi + y_ {0 } cos varphi z_ {0} + c ; varphi end {pmatrix}} , varphi in mathbb {R} .}

${ displaystyle c neq 0}$ je nazýván sklon, úhel ${ displaystyle varphi}$ , měřeno v radiánu, se nazývá úhel šroubu a ${ displaystyle h = c ; 2 pi}$ the hřiště (zelená). Stopa bodu je a kruhová spirála (Červené). Je obsažen na povrchu a pravý kruhový válec. Jeho poloměr je vzdálenost bodu ${ displaystyle P_ {0}}$ do z-osa.

V případě ${ displaystyle c> 0}$ se nazývá šroubovice pravák v opačném případě levák.(V případě ${ displaystyle c = 0}$ pohyb je rotace kolem z-osa).

Šroubový pohyb křivky

{ displaystyle mathbf {x} (t) = (x (t), y (t), z (t)) ^ {T}, t_ {1} leq t leq t_ {2} ,}

získá zobecněný helikoid s parametrickým vyjádřením

${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi) = { začátek {pmatrix} x (t) cos varphi -y (t) sin varphi x (t) sin varphi + y (t) cos varphi z (t) + c ; varphi end {pmatrix}} , quad t_ {1} leq t leq t_ {2}, varphi in mathbb {R} .}$

Křivky ${ displaystyle mathbf {S} (t = { text {stálý}}, varphi)}$ jsou kruhové šroubovice.
Křivky ${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi = { text {stálá}})}$ jsou kopie dané profilové křivky.

Příklad: U prvního obrázku výše je poledník a parabola.

Vládl generalizované helikoidy

vpravo ovládané generalizované helikoidy: zavřené (vlevo) a otevřené (vpravo)

šikmé typy: uzavřené (vlevo) a otevřené (vpravo)

tečný rozvinutelný typ: definice (vlevo) a příklad

Typy

Pokud je křivka profilu přímka, dostane se a vládl zobecněný vrtulník. Existují čtyři typy:

(1) Přímka protíná osu kolmo. Jeden dostane vrtulník (zavřeno vpravo vládl generalizovaný vrtulník).

(2) Přímka protíná osu, ale ne kolmo. Jeden dostane šikmo uzavřeno typ.

Pokud daná čára a osa jsou šikmé čáry, jedna dostane otevřeno typu a osa není součástí povrchu (s. obrázek).

(3) Pokud daná čára a osa jsou šikmé čáry a čára je obsažena v rovině kolmé k ose, získá se vpravo otevřené typu nebo krátce otevřený vrtulník.

(4) Pokud jsou čára a osa zkosené a čára je ne obsažené v ... (s. 3) jeden dostane šikmo otevřené typ.

Šikmé typy ano protínají se (s. obrázek), že jo typy (helikoidy) ne.

Jeden získá zajímavý případ, pokud je čára zkosená k ose a součinu její vzdálenosti ${ displaystyle d}$ k ose a její sklon je přesně ${ displaystyle c}$ . V tomto případě je povrch a tečna rozvinutelná povrchu a je generován directrix ${ displaystyle (d cos varphi, d sin varphi, c varphi)}$ .

Poznámka:

(Otevřené a uzavřené) helikoidy jsou Katalánské povrchy. Uzavřený typ (běžný vrtulník) je dokonce a kónický
Vládnuté generalizované helikoidy nejsou algebraické povrchy.

Na uzavřených vládly generalizované helikoidy

o selfintersekci uzavřených ovládaných generalizovaných helikoidů

Uzavřený zobecněný helikoid má profilovou čáru, která protíná osu. Pokud je profilová čára popsána ${ displaystyle (t, 0, z_ {0} + m ; t) ^ {T}}$ jeden získá následující parametrické vyjádření

${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi) = { začátek {pmatrix} t cos varphi t sin varphi z_ {0} + mt + c varphi end {pmatrix} } .}$

Li ${ displaystyle m = 0}$ (běžný vrtulník) povrch ano ne protínají se.
Li ${ displaystyle m neq 0}$ (šikmý typ) povrch protíná sebe a křivky (na povrchu)

{ displaystyle mathbf {S} (t_ {i}, varphi)}

s

{ displaystyle t_ {i} = { frac {h} {4m}} (2i + 1), i = 1,2, ldots}

skládá se z dvojité body. Existují nekonečné dvojité křivky. Menší ${ displaystyle | m |}$ tím větší jsou vzdálenosti mezi dvojitými křivkami.

Na tangenciálním rozvinutelném typu

tečna rozvinutelná: pravidelné části (zelená a modrá) a directrix (fialová)

Pro directrix (šroubovice)

{ displaystyle mathbf {x} ( varphi) = (r cos varphi, r sin varphi, c varphi) ^ {T}}

získá se následující parametrické vyjádření tečné rozvinutelné plochy:

${ displaystyle mathbf {S} (t, varphi) = mathbf {x} ( varphi) + t mathbf { dot {x}} ( varphi) = { begin {pmatrix} r cos varphi -tr sin varphi r sin varphi + tr cos varphi c (t + varphi) end {pmatrix}} .}$

Normální povrchový vektor je

{ displaystyle mathbf {n} = mathbf {S} _ {t} times mathbf {S} _ { varphi} = mathbf { dot {x}} times ( mathbf { dot {x }} + t mathbf { ddot {x}}) = t ( mathbf { dot {x}} times mathbf { ddot {x}}) = t { begin {pmatrix} cr sin varphi - cr cos varphi r ^ {2} end {pmatrix}} .}

Pro ${ displaystyle t = 0}$ normální vektor je nulový vektor. Directrix se tedy skládá ze singulárních bodů. Direktrix odděluje dvě pravidelné části povrchu (viz obrázek).

Kruhové generalizované helikoidy

poledník je kruh

křivka profilu je vodorovný kruh

Existují 3 zajímavé typy kruhových generalizovaných helikoidů:

(1) Pokud je kruh poledníkem a neprotíná osu (s. Obrázek).

(2) Rovina obsahující kruh je kolmá na šroubovici středů kruhu. Jeden dostane povrch potrubí

(3) Rovina kruhu je kolmá k ose a zahrnuje v ní osový bod (s. Obrázek). Tento typ byl použit pro barokní sloupy.

schodiště, University Mannheim, Německo
skluzavka Salinarium
oltář (1688), St. Pankratius, Neuenfelde, Německo

Viz také

externí odkazy

Reference

Elsa Abbena, Simon Salamon, Alfred Gray:Moderní diferenciální geometrie křivek a povrchů s Mathematica, 3. vydání, Studies in Advanced Mathematic, Chapman & Hall, 2006, ISBN 1584884487, str. 470
E. Kreyszig: Diferenciální geometrie. New York: Dover, str. 88, 1991.
U. Graf, M. Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, str. 218
K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen, 1967, s. 286