Shrnutí série Grandis - Summation of Grandis series - Wikipedia

Obecné úvahy

Stabilita a linearita

Formální manipulace, které vedou k tomu, že 1 - 1 + 1 - 1 + · · · je přiřazena hodnota ¹⁄₂ zahrnout:

• Sčítání nebo odčítání dvou řad po jednotlivých termínech,
• Násobení skalárním termínem za termínem,
• "Posunutí" série beze změny v součtu a
• Zvýšení součtu přidáním nového výrazu do hlavy série.

Jedná se o legální manipulace se součty konvergentních řad, ale 1 - 1 + 1 - 1 + · · · není konvergentní řada.

Existuje nicméně mnoho metod sumarizace, které tyto manipulace respektují a které Grandiho sérii přiřadí „součet“. Dvě z nejjednodušších metod jsou Cesàro součet a Abelův součet.^[1]

Cesàro součet

První rigorózní metodu pro sčítání odlišných sérií publikoval Ernesto Cesàro v roce 1890. Základní myšlenka je podobná pravděpodobnostnímu přístupu Leibnize: součet Cesàro řady je v podstatě průměrem všech jejích dílčích součtů. Formálně jeden výpočet pro každého n, průměr σ_n první n částečné částky a bere limit těchto Cesàro znamená jako n jde do nekonečna.

U Grandiho řady je posloupnost aritmetických průměrů

1, ¹⁄₂, ²⁄₃, ²⁄₄, ³⁄₅, ³⁄₆, ⁴⁄₇, ⁴⁄₈, …

nebo, sugestivněji,

(¹⁄₂+¹⁄₂), ¹⁄₂, (¹⁄₂+¹⁄₆), ¹⁄₂, (¹⁄₂+¹⁄₁₀), ¹⁄₂, (¹⁄₂+¹⁄₁₄), ¹⁄₂, …

kde

${ displaystyle sigma _ {n} = { frac {1} {2}}}$ dokonce n a ${ displaystyle sigma _ {n} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2n}}}$ pro liché n.

Tato posloupnost aritmetických prostředků konverguje k ¹⁄₂, takže Cesàro součet ΣA_k je ¹⁄₂. Ekvivalentně se říká, že Cesàroův limit posloupnosti 1, 0, 1, 0,… je ¹⁄₂.^[2]

Součet Cesàro 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · je ²⁄₃. Takže součet Cesàro řady lze změnit vložením nekonečně mnoha 0 a nekonečně mnoha závorek.^[3]

Řadu lze také shrnout obecnějšími frakčními metodami (C, a).^[4]

Abelova suma

Abelův součet je podobný Eulerově pokusné definici součtů divergentní řady, ale vyhne se námitkám Callet a N. Bernoulliho přesnou konstrukcí funkce, která se má použít. Euler ve skutečnosti pravděpodobně chtěl omezit svou definici na mocenské řady,^[5] a v praxi to používal téměř výlučně^[6] ve formě nyní známé jako Abelova metoda.

Vzhledem k sérii A₀ + A₁ + A₂ + · · ·, Jeden vytvoří novou sérii A₀ + A₁X + A₂X² + · · ·. Pokud druhá řada konverguje pro 0 < X <1 na funkci s omezením jako X má tendenci k 1, pak se tento limit nazývá Ábelův součet původní série Ábelova věta což zaručuje soulad postupu s běžným sčítáním. Pro sérii Grandiho jeden má

${ displaystyle A sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} = lim _ {x rightarrow 1} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- x) ^ {n} = lim _ {x rightarrow 1} { frac {1} {1 + x}} = { frac {1} {2}}.}$ ^[7]

Související série

Odpovídající výpočet, kterým je Ábelova suma 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · ²⁄₃ zahrnuje funkci (1 +X)/(1 + X + X²).

Kdykoli je řada Cesàro summable, je také Abel summable a má stejný součet. Na druhou stranu, přičemž Cauchyho produkt série Grandiho sama o sobě přináší sérii, která je Abel summable, ale ne Cesàro summable:

1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

má Ábelovu částku ¹⁄₄.^[8]

Ředění

Střídavý rozestup

Obyčejná Ábelova suma 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · je ²⁄₃ lze také formulovat jako (A, λ) součet původní řady 1 - 1 + 1 - 1 + · · · kde (λ_n) = (0, 2, 3, 5, 6,…). Podobně (A, λ) součet 1 - 1 + 1 - 1 + · · · kde (λ_n) = (0, 1, 3, 4, 6,…) je ¹⁄₃.^[9]

Rozteč podle zákona

Exponenciální rozteč

Summabilitu 1 - 1 + 1 - 1 + · · · lze zmařit oddělením jejích členů exponenciálně delšími a delšími skupinami nul. Nejjednodušší příklad k popisu je řada, kde (−1)ⁿ se objeví v hodnosti 2ⁿ:

0 + 1 − 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 − 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + · · ·.

Tato série není Cesaro shrnutelná. Po každém nenulovém termínu stráví částečné součty dostatek času setrváním na 0 nebo 1, aby přinesly průměrný částečný součet do poloviny tohoto bodu od své předchozí hodnoty. Přes interval 2^2m−1 ≤ n ≤ 2^2m − 1 po termínu (- 1) se naritmetické prostředky se v celém rozsahu mění

${ displaystyle { frac {2} {3}} vlevo ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {2m} +2}} vpravo) ; mathrm {to} ; { frac {1} {3}} (1-2 ^ {- 2m}),}$

nebo o ²⁄₃ na ¹⁄₃.^[10]

Ve skutečnosti ani exponenciálně rozmístěná řada není Abel summable. Jeho Ábelova suma je limitem jako X přiblíží 1 funkce

F(X) = 0 + X − X² + 0 + X⁴ + 0 + 0 + 0 − X⁸ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + X¹⁶ + 0 + · · ·.

Tato funkce splňuje funkční rovnici:

${ displaystyle { begin {array} {rcl} F (x) & = & displaystyle xx ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {8} + cdots [1em] & = & displaystyle x- left [(x ^ {2}) - (x ^ {2}) ^ {2} + (x ^ {2}) ^ {4} - cdots right] [1em] & = & displaystyle xF (x ^ {2}). end {pole}}}$

Z této funkční rovnice to vyplývá F(X) zhruba osciluje kolem ¹⁄₂ tak jako X přístupy 1. Chcete-li dokázat, že amplituda oscilace je nenulová, pomůže to oddělit F do přesně periodické a neperiodické části:

${ displaystyle F (x) = Psi (x) + Phi (x)}$

kde

${ displaystyle Phi (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n! (1 + 2 ^ {n})}} vlevo ( log { frac {1} {x}} vpravo) ^ {n}}$

splňuje stejnou funkční rovnici jako F. To nyní naznačuje Ψ (X) = −Ψ (X²) = Ψ (X⁴), takže Ψ je periodická funkce loglogu (1 /X). Protože dy (str. 77) hovoří o „jiném řešení“ a „zjevně ne konstantním“, i když technicky neprokazuje, že F a Φ jsou různé. Protože Φ část má limit ¹⁄₂, F osciluje také.

Oddělení váhy

Vzhledem k jakékoli funkci φ (x) takové, že φ (0) = 1, a derivace φ je integrovatelná přes (0, + ∞), pak existuje zobecněný φ-součet Grandiho řady a rovná se ¹⁄₂:

${ displaystyle S _ { varphi} = lim _ { delta downarrow 0} sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} varphi ( delta k) = { frac {1} {2}}.}$

Součet Cesaro nebo Ábel se získá tak, že φ bude trojúhelníková nebo exponenciální funkce. Pokud se navíc předpokládá, že φ nepřetržitě rozlišitelné, lze potom nárok prokázat uplatněním věta o střední hodnotě a převod součtu na integrál. Krátce:

${ displaystyle { begin {array} {rcl} S _ { varphi} & = & displaystyle lim _ { delta downarrow 0} sum _ {k = 0} ^ { infty} left [ varphi (2k delta) - varphi (2k delta + delta) right] [1em] & = & displaystyle lim _ { delta downarrow 0} sum _ {k = 0} ^ { infty} varphi '(2k delta + c_ {k}) (- delta) [1em] & = & displaystyle - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} varphi '(x) , dx = - { frac {1} {2}} varphi (x) | _ {0} ^ { infty} = { frac {1} {2}}. end {pole}}}$^[11]

Eulerova transformace a analytické pokračování

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2010)

Borelův součet

The Borelův součet série Grandi je znovu ¹⁄₂, od té doby

${ displaystyle 1-x + { frac {x ^ {2}} {2!}} - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {4}} {4 !}} - cdots = e ^ {- x}}$

a

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} e ^ {- x} , dx = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- 2x} , dx = { frac {1} {2}}.}$^[12]

Řadu lze také sečíst obecnými (B, r) metodami.^[13]

Spektrální asymetrie

Záznamy v Grandiho sérii lze spárovat s vlastní čísla nekonečně-dimenzionální operátor na Hilbertův prostor. Poskytnutí série této interpretace vede k myšlence spektrální asymetrie, který se ve fyzice hojně vyskytuje. Hodnota, kterou řada sečte, závisí na asymptotickém chování vlastních čísel operátora. Tak například nechme ${ displaystyle { omega _ {n} }}$ být posloupností pozitivních i negativních vlastních čísel. Grandiho řada odpovídá formálnímu součtu

${ displaystyle sum _ {n} operatorname {sgn} ( omega _ {n}) ;}$

kde ${ displaystyle operatorname {sgn} ( omega _ {n}) = pm 1}$ je znaménko vlastního čísla. Sérii lze určit konkrétní hodnoty zvážením různých limitů. Například regulátor tepelného jádra vede k součtu

${ displaystyle lim _ {t až 0} sum _ {n} operatorname {sgn} ( omega _ {n}) e ^ {- t | omega _ {n} |}}$

což je pro mnoho zajímavých případů konečné pro nenulové t, a konverguje na konečnou hodnotu v limitu.

Metody, které selhávají

The metoda integrální funkce s p_n = exp (-cn²) a C > 0.^[14]

The metoda momentové konstanty s

${ displaystyle d chi = e ^ {- k ( log x) ^ {2}} x ^ {- 1} dx}$

a k > 0.^[15]

Geometrická řada

The geometrické řady v ${ displaystyle (x-1)}$,

${ displaystyle { frac {1} {x}} = 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} - (x-1) ^ {3} + (x-1) ^ {4 } -...}$

je konvergentní pro ${ displaystyle | x-1 | <1}$. Formálně střídání ${ displaystyle x = 2}$ dal bych

${ displaystyle { frac {1} {2}} = 1-1 + 1-1 + 1 -...}$

Nicméně, ${ displaystyle x = 2}$ je mimo poloměr konvergence, ${ displaystyle | x-1 | <1}$, takže tento závěr nelze učinit.

Poznámky

Reference