Rozdílné polynomy - Difference polynomials

v matematika, v oblasti komplexní analýza, obecné rozdílové polynomy plocha polynomiální sekvence, určitá podtřída Shefferovy polynomy, které zahrnují Newtonovy polynomy, Selbergovy polynomya Stirlingovy interpolační polynomy jako zvláštní případy.

Definice

Obecný rozdíl polynomiální sekvence je dán vztahem

{displaystyle p_ {n} (z) = {frac {z} {n}} {{z- eta n-1} zvolit {n-1}}}

kde ${displaystyle {z vyberte n}}$ je binomický koeficient. Pro ${displaystyle eta = 0}$ , generované polynomy ${displaystyle p_ {n} (z)}$ jsou Newtonovy polynomy

{displaystyle p_ {n} (z) = {z zvolte n} = {frac {z (z-1) cdots (z-n + 1)} {n!}}.}

Případ ${displaystyle eta = 1}$ generuje Selbergovy polynomy a případ ${displaystyle eta = -1 / 2}$ generuje Stirlingovy interpolační polynomy.

Pohyblivé rozdíly

Vzhledem k analytická funkce ${displaystyle f (z)}$ , definovat pohyblivý rozdíl z F tak jako

{displaystyle {mathcal {L}} _ {n} (f) = Delta ^ {n} f (eta n)}

kde ${displaystyle Delta}$ je operátor dopředného rozdílu. Pak, za předpokladu, že F podřídí se určitým podmínkám summability, pak to může být reprezentováno z hlediska těchto polynomů jako

{displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ {infty} p_ {n} (z) {mathcal {L}} _ {n} (f).}

Podmínky shrnovatelnosti (tj. Konvergence) pro tuto posloupnost jsou poměrně složitým tématem; obecně lze říci, že nezbytnou podmínkou je, aby analytická funkce byla menší než exponenciální typ. Podmínky summability jsou podrobně popsány v Boas & Buck.

Generující funkce

The generující funkce pro obecný rozdíl jsou polynomy dány vztahem

{displaystyle e ^ {zt} = součet _ {n = 0} ^ {infty} p_ {n} (z) left [left (e ^ {t} -1ight) e ^ {eta t} ight] ^ {n} .}

Tuto generující funkci lze převést do podoby zobecněné Appell zastoupení

{displaystyle K (z, w) = A (w) Psi (zg (w)) = součet _ {n = 0} ^ {infty} p_ {n} (z) w ^ {n}}

nastavením ${displaystyle A (w) = 1}$ , ${displaystyle Psi (x) = e ^ {x}}$ , ${displaystyle g (w) = t}$ a ${displaystyle w = (e ^ {t} -1) e ^ {eta t}}$ .

Viz také

Reference

Ralph P. Boas, Jr. a R. Creighton Buck, Polynomiální rozšíření analytických funkcí (opraven druhý tisk)(1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263.