Polycyklická skupina - Polycyclic group - Wikipedia

v matematika, a polycyklická skupina je řešitelná skupina který splňuje maximální podmínku podskupiny (to znamená, že každá podskupina je definitivně generováno ). Polycyklické skupiny jsou konečně představen, a to je činí zajímavými z výpočetního hlediska.

Terminologie

Ekvivalentně skupina G je polycyklický právě tehdy, když připouští a subnormální série s cyklickými faktory, to je konečná množina podskupin, řekněme G0, ..., Gn takhle

  • G0 se shoduje s G
  • Gn je triviální podskupina
  • Gi+1 je normální podskupina Gi (pro každého i mezi 0 a n - 1)
  • a skupina podílů Gi / Gi+1 je cyklická skupina (pro každého i mezi 0 a n - 1)

A metacyklická skupina je polycyklická skupina s n ≤ 2, nebo jinými slovy an rozšíření cyklické skupiny cyklickou skupinou.

Příklady

Příklady polycyklických skupin zahrnují konečně generované abelianské skupiny, konečně generované nilpotentní skupiny a konečné řešitelné skupiny. Anatoly Maltsev dokázal, že řešitelné podskupiny celého čísla obecná lineární skupina jsou polycyklické; a později Louis Auslander (1967) a Swan prokázali obrácený názor, že jakákoli polycyklická skupina je až do izomorfismu skupina celočíselných matic.[1] The holomorf polycyklické skupiny je také taková skupina celočíselných matic.[2]

Silně polycyklické skupiny

Skupina G se říká, že je silně polycyklický, pokud je polycyklický s přidanou podmínkou, že každý Gi / Gi+1 je nekonečně cyklický. Je zřejmé, že silně polycyklická skupina je polycyklická. Jakákoli podskupina silně polycyklické skupiny je také silně polycyklická.

Polycyklické podle konečných skupin

A prakticky polycyklická skupina je skupina, která má polycyklickou podskupinu konečných index, příklad a virtuální vlastnictví. Taková skupina nutně má normální polycyklická podskupina konečného indexu, a proto se tyto skupiny také nazývají polycyklické po konečných skupinách. Ačkoli polycyklické skupiny podle konečných skupin nemusí být řešitelné, stále mají mnoho vlastností konečnosti polycyklických skupin; například splňují maximální podmínku a jsou definitivně prezentovány a zbytkově konečné.

V učebnici (Scott 1964, Ch 7.1) a nějaké papíry, an M-skupina odkazuje na to, co se nyní nazývá polycyklickýpodle -konečná skupina, kterou Hirschova věta může být také vyjádřena jako skupina, která má konečnou délku subnormální řady s každým faktorem konečnou skupinu nebo nekonečno cyklická skupina.

Tyto skupiny jsou obzvláště zajímavé, protože jsou jedinými známými příklady Noetherian skupinové kroužky (Ivanov 1989 ), nebo skupinové prstence konečné injektivní dimenze.[Citace je zapotřebí ]

Hirschova délka

The Hirschova délka nebo Hirschovo číslo polycyklické skupiny G je počet nekonečných faktorů v jeho subnormální řadě.

Li G je polycyklická po konečné skupině, pak Hirschova délka G je Hirschova délka polycykliky normální podskupina H z G, kde H má konečný index v G. To je nezávislé na výběru podskupiny, protože všechny takové podskupiny budou mít stejnou délku Hirsch.

Viz také

Reference

  • Ivanov, S. V. (1989), "Skupinové prsteny noetherských skupin", Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki, 46 (6): 61–66, ISSN  0025-567X, PAN  1051052
  • Scott, W. R. (1987), Skupinová teorie, New York: Dover Publications, str. 45–46, ISBN  978-0-486-65377-8

Poznámky

  1. ^ Dmitrij Alekseevich Suprunenko, K. A. Hirsch, Maticové skupiny (1976), str. 174–5; Knihy Google.
  2. ^ „Polycyklická skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]