Sféricky symetrický časoprostor - Spherically symmetric spacetime
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Říjen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v fyzika, sféricky symetrické časoprostory se běžně používají k získání analytických a numerických řešení Einsteinovy rovnice pole v přítomnosti radiálně se pohybující hmoty nebo energie. Protože sféricky symetrické časoprostory jsou podle definice irrotační, nejsou realistickými modely černé díry v přírodě. Jejich metriky jsou však podstatně jednodušší než metriky rotujících časoprostorů, takže je jejich analyzování mnohem snazší.
Sféricky symetrické modely nejsou zcela nevhodné: mnoho z nich má Penroseovy diagramy podobné jako u rotujících časoprostorů a ty mají obvykle kvalitativní vlastnosti (např Cauchyho obzory ), které nejsou ovlivněny rotací. Jednou z takových aplikací je studium masová inflace kvůli protiběžným proudům infalling hmoty uvnitř černé díry.
Formální definice
A sféricky symetrický časoprostor je vesmírný čas jehož izometrická skupina obsahuje podskupinu, která je izomorfní do rotační skupina SO (3) a oběžné dráhy této skupiny jsou 2 sféry (obyčejné 2-dimenzionální koule v 3-dimenzionálním Euklidovský prostor ). Izometrie jsou pak interpretovány jako rotace a sféricky symetrický časoprostor je často popisován jako ten, jehož metrika je „invariantní pod rotacemi“. Metrika časoprostoru indukuje metriku na každé oběžné dráze 2 sféry (a tato indukovaná metrika musí být násobkem metriky 2 sféry). Obvykle je metrika o 2 sféře zapsána polární souřadnice tak jako
- ,
a tak celá metrika zahrnuje termín úměrný tomu.
Sférická symetrie je charakteristickým rysem mnoha řešení Einsteinovy rovnice pole z obecná relativita, zejména Schwarzschildovo řešení a Řešení Reissner – Nordström. Sféricky symetrický časoprostor lze charakterizovat jiným způsobem, konkrétně použitím pojmu Zabíjení vektorových polí, což ve velmi přesném smyslu zachovat metriku. Výše uvedené izometrie jsou ve skutečnosti lokální tokové difeomorfismy zabíjení vektorových polí a tím generování těchto vektorových polí. Pro sféricky symetrický časoprostor existují přesně 3 rotační vektorová pole zabíjení. Jinak řečeno, dimenze Zabíjení algebry je 3; to je . Obecně platí, že žádný z nich není podobný času, což by znamenalo a statický časoprostor.
Je známo (viz Birkhoffova věta ), že jakékoli sféricky symetrické řešení rovnice vakuového pole je nutně izometrický k podmnožině maximálně rozšířené Schwarzschildovo řešení. To znamená, že vnější oblast kolem sféricky symetrického gravitačního objektu musí být statický a asymptoticky plochá.
Sféricky symetrické metriky
Obvykle se používá sférické souřadnice , napsat metriku ( prvek čáry ). Několik souřadnicové grafy jsou možné; tyto zahrnují:
- Schwarzschildovy souřadnice
- Izotropní souřadnice, ve kterém světelné kužely jsou kulaté, a proto užitečné pro studium nulové prachy.
- Gaussovské polární souřadnice, někdy se používá ke studiu statických sféricky symetrických dokonalých tekutin.
- Níže je uveden obvodový poloměr, který je vhodný pro studium hromadné inflace.
Metrický obvodový poloměr
Jedna populární metrika[1], použitý při studiu masová inflace, je
Tady, je standardní metrika na poloměru jednotky 2 koule . Radiální souřadnice je definován tak, že se jedná o obvodový poloměr, tedy o správný obvod v poloměru je . V této volbě souřadnic parametr je definován tak, že je správná rychlost změny obvodového poloměru (tj. kde je správný čas ). Parametr lze interpretovat jako radiální derivaci obvodového poloměru ve volně padajícím rámu; toto se v tetradský formalismus.
Ortonormální tetradský formalismus
Všimněte si, že výše uvedená metrika je zapsána jako součet čtverců, a proto ji lze chápat jako explicitní kódování a vierbein, a zejména an ortonormální tetrad. To znamená, že metrický tenzor lze zapsat jako a zarazit z Minkowského metrika :
Kde je inverzní vierbein. Konvence zde a v následujícím následuje, že římské indexy odkazují na plochý ortonormální tetradový rámec, zatímco řecké indexy odkazují na souřadnicový rámec. Inverzní vierbein lze přímo odečíst z výše uvedené metriky jako
kde měl být podpis . Napsáno jako matice, inverzní vierbein je
Samotný vierbein je inverzní (-transpose) inverzního vierbeinu
To znamená, je matice identity.
Obzvláště jednoduchá forma výše uvedeného je hlavním motivačním faktorem pro práci s danou metrikou.
Vierbein spojuje vektorová pole v souřadnicovém rámci s vektorovými poli v tetradovém rámci, jako
Nejzajímavější z těchto dvou jsou což je správný čas v klidovém rámci, a což je radiální derivace v klidovém rámci. Konstrukcí, jak již bylo uvedeno výše, byla správná rychlost změny obvodového poloměru; toto lze nyní výslovně zapsat jako
Podobně jeden má
který popisuje gradient (ve volně padajícím tetradovém rámci) obvodového poloměru podél radiálního směru. To není v obecné jednotě; porovnejte například se standardním řešením Swarschild nebo řešením Reissner – Nordström. Znamení účinně určuje, „která cesta je dole“; znamení rozlišuje příchozí a odchozí snímky, takže je příchozí rámec a je odchozí rámec.
Tyto dva vztahy na obvodovém poloměru poskytují další důvod, proč je tato konkrétní parametrizace metriky pohodlná: má jednoduchou intuitivní charakterizaci.
Formulář připojení
The formulář připojení v tetradovém rámci lze zapsat pomocí Christoffel symboly v tetradovém rámci, které jsou dány vztahem
a všechny ostatní nula.
Einsteinovy rovnice
Kompletní sada výrazů pro Riemannův tenzor, Einsteinův tenzor a th Weylovo zakřivení skalární lze nalézt v Hamilton & Avelino.[1] Einsteinovy rovnice se stávají
kde je kovarianční časová derivace (a the Připojení Levi-Civita ), radiální tlak (ne izotropní tlak!) a tok radiální energie. Hmotnost je Misner-Thorneova mše nebo vnitřní hmota, dána
Jelikož jsou tyto rovnice skutečně dvourozměrné, lze je vyřešit bez velkých obtíží pro různé předpoklady o povaze materiálu, který spouští (tj. Pro předpoklad sféricky symetrické černé díry, která akumuluje nabitý nebo neutrální prach, plyn , plazma nebo temná hmota, o vysoké nebo nízké teplotě, tj. materiál s různými stavové rovnice.)
Viz také
Reference
- Wald, Robert M. (1984). Obecná relativita. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. V části 6.1 najdete diskusi o sférické symetrii.