Prostorové symetrie - Spacetime symmetries

Prostorové symetrie jsou rysy vesmírný čas které lze popsat jako projevující nějakou formu symetrie. Role symetrie ve fyzice je důležité při zjednodušení řešení mnoha problémů. Při studiu se používají časoprostorové symetrie přesná řešení z Einsteinovy rovnice pole z obecná relativita. Symetrie časoprostoru se odlišují od vnitřní symetrie.

Fyzická motivace

Fyzické problémy jsou často zkoumány a řešeny všímáním si rysů, které mají nějakou formu symetrie. Například v Schwarzschildovo řešení, role sférická symetrie je důležité v odvození Schwarzschildova řešení a odvodit fyzikální důsledky této symetrie (například neexistenci gravitačního záření ve sféricky pulzující hvězdě). V kosmologických problémech hraje symetrie roli v kosmologický princip, což omezuje typ vesmírů, které jsou v souladu s rozsáhlými pozorováními (např Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW) metrika ). Symetrie obvykle vyžadují nějakou formu zachování vlastnosti, z nichž nejdůležitější v obecné relativitě je následující:

zachování geodetiky časoprostoru
zachování metrického tenzoru
zachování tenzoru zakřivení

Tyto a další symetrie budou podrobněji popsány níže. Tuto vlastnost zachování, kterou obvykle mají symetrie (zmiňovanou výše), lze použít k motivaci k užitečné definici těchto symetrií samotných.

Matematická definice

Striktní definici symetrií v obecné relativitě uvedl Hall (2004). V tomto přístupu je myšlenka použít (hladký) vektorová pole jehož lokální tokové difeomorfismy zachovat nějaký majetek vesmírný čas. (Všimněte si, že ve svém myšlení je třeba zdůraznit, že jde o difeomorfismus - transformaci na a rozdíl živel. Z toho vyplývá, že chování objektů s rozsahem nemusí být tak zjevně symetrické.) Tato vlastnost zachování difeomorfismů je upřesněna následovně. Hladké vektorové pole $X$ v časoprostoru $M$ říká se zachovat hladký tenzor $T$ na $M$ (nebo $T$ je neměnný pod $X$ ) pokud, pro každý hladký lokální tok diffeomorfismus $ϕ t$ spojený s $X$ , tenzory $T$ a $ϕ * t (T)$ jsou stejné v doméně $ϕ t$ . Toto tvrzení je ekvivalentem použitelnější podmínky, kterou Derivát lži z tenzor pod vektorovým polem zmizí:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} T = 0}

na $M$ . To má za následek, že vzhledem ke dvěma bodům $str$ a $q$ na $M$ , souřadnice $T$ v souřadném systému kolem $str$ se rovnají souřadnicím $T$ v souřadnicovém systému kolem $q$ . A symetrie na časoprostoru je hladké vektorové pole, jehož lokální tokové difeomorfismy zachovávají některé (obvykle geometrické) rysy časoprostoru. (Geometrický) prvek může odkazovat na konkrétní tenzory (například metrický nebo tenzor energetické hybnosti) nebo na další aspekty časoprostoru, jako je jeho geodetická struktura. Vektorová pole jsou někdy označována jako kolineace, vektorové pole symetrie nebo prostě symetrie. Sada všech vektorových polí symetrie $M$ tvoří a Lež algebra pod Ležící závorka operace, jak je vidět z identity:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {[X, Y]} T = { mathcal {L}} _ {X} ({ mathcal {L}} _ {Y} T) - { mathcal { L}} _ {Y} ({ mathcal {L}} _ {X} T)}

termín vpravo je obvykle psán, s zneužití notace, tak jako

{ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {X}, { mathcal {L}} _ {Y}] T.}

Symetrie zabíjení

Zabití vektorové pole je jedním z nejdůležitějších typů symetrií a je definováno jako hladké vektorové pole který zachovává metrický tenzor:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 0}

To se obvykle píše v rozšířené formě jako:

{ displaystyle X_ {a; b} + X_ {b; a} , = 0}

Kill vektorové pole najít rozsáhlé aplikace (včetně v klasická mechanika ) a souvisí s zákony na ochranu přírody.

Homotetická symetrie

Homotetické vektorové pole je takové, které splňuje:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 2cg_ {ab}}

kde $C$ je skutečná konstanta. Homotetická vektorová pole nacházejí uplatnění při studiu singularity obecně relativita.

Afinní symetrie

Afinní vektorové pole je takové, které splňuje:

{ displaystyle ({ mathcal {L}} _ {X} g_ {ab}) _ {; c} = 0}

Zachová se afinní vektorové pole geodetika a zachovává afinní parametr.

Výše uvedené tři typy vektorových polí jsou speciální případy projektivní vektorová pole které zachovávají geodetiku bez nutnosti zachování afinního parametru.

Konformní symetrie

Konformní vektorové pole je takové, které splňuje:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = phi g_ {ab}}

kde $ϕ$ je plynulá funkce se skutečnou hodnotou $M$ .

Symetrie zakřivení

Kolinace zakřivení je vektorové pole, které zachovává Riemannův tenzor:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} {R ^ {a}} _ {bcd} = 0}

kde $R A bcd$ jsou komponenty Riemannova tenzoru. The soubor ze všech hladký zakřivení kolineace tvoří a Lež algebra pod Ležící závorka operace (pokud je podmínka hladkosti zrušena, sada všech kolineací zakřivení nemusí tvořit Lieovu algebru). Lieova algebra je označena $CC (M)$ a možná nekonečný -dimenzionální. Každé afinní vektorové pole je kolinace zakřivení.

Symetrie hmoty

Méně známá forma symetrie se týká vektorových polí, která zachovávají tenzor energetické hybnosti. Tito jsou různě odkazoval se na jak kolineace hmoty nebo hmotové symetrie a jsou definovány:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} T_ {ab} = 0}

kde $T ab$ jsou složky tenzoru energie-hybnosti. Zde lze jako vektorové pole zvýraznit důvěrný vztah mezi geometrií a fyzikou $X$ se považuje za zachování určitých fyzikálních veličin podél linie toku $X$ , to platí pro kterékoli dva pozorovatele. V souvislosti s tím se může ukázat, že každé pole vektoru zabíjení je kolinecí hmoty (podle Einsteinových polních rovnic, s nebo bez kosmologická konstanta ). Vzhledem k řešení EFE tedy vektorové pole, které zachovává metriku, nutně zachovává odpovídající tenzor energie-hybnosti. Když tenzor energie-hybnosti představuje dokonalou tekutinu, každé pole vektoru Killing zachovává hustotu energie, tlak a pole vektoru toku tekutiny. Když tenzor energie-hybnosti představuje elektromagnetické pole, dělá to vektorové pole Killing ne nutně zachovat elektrické a magnetické pole.

Místní a globální symetrie

Aplikace

Jak bylo uvedeno na začátku tohoto článku, hlavní aplikace těchto symetrií se vyskytuje v obecné relativitě, kde lze řešení Einsteinových rovnic klasifikovat uložením některých určitých symetrií do časoprostoru.

Klasifikace časoprostoru

Klasifikace řešení EFE představuje velkou část výzkumu obecné relativity. Různé přístupy ke klasifikaci časoprostorů, včetně použití Segre klasifikace tenzoru energie-hybnosti nebo Petrov klasifikace z Weylův tenzor byly rozsáhle studovány mnoha vědci, zejména Stephani et al. (2003). Rovněž klasifikují časoprostory pomocí vektorových polí symetrie (zejména Killingova a homotetická symetrie). Například ke klasifikaci časoprostorů lze použít vektorová pole zabíjení, protože existuje limit počtu globálních, hladkých polí zabíjení vektorových polí, která může mít časoprostor (maximum je 10 pro čtyřrozměrné časoprostory). Obecně řečeno, čím vyšší je rozměr algebry vektorových polí symetrie na časoprostoru, tím více symetrie časoprostor připouští. Například Schwarzschildovo řešení má zabijáckou algebru dimenze 4 (tři prostorová rotační vektorová pole a časový překlad), zatímco Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) metrika (kromě Einstein statický subcase) má zabijáckou algebru dimenze 6 (tři překlady a tři rotace). Einsteinova statická metrika má zabijáckou algebru dimenze 7 (předchozích 6 plus časový překlad).

Předpoklad, že časoprostor připouští určité vektorové pole symetrie, může omezit časoprostor.

Seznam symetrických časoprostorů

Následující časoprostory mají na Wikipedii své vlastní odlišné články:

Viz také

Reference

Hall, Graham (2004). Symetrie a struktura zakřivení v obecné relativitě (World Scientific Lecture Notes in Physics). Singapur: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5.. Vidět Oddíl 10.1 pro definici symetrií.
Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Přesná řešení Einsteinových polních rovnic. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.
Schutz, Bernard (1980). Geometrické metody matematické fyziky. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-29887-3.. Vidět Kapitola 3 pro vlastnosti Lieova derivátu a Oddíl 3.10 pro definici invariance.