Formálně hladká mapa - Formally smooth map

v algebraická geometrie a komutativní algebra, a kruhový homomorfismus ${ displaystyle f: A až B}$ je nazýván formálně hladký (z francouzština: Formellement lisse) pokud splňuje následující nekonečno zdvihání vlastnictví:

Předpokládat B je dána struktura A-algebra přes mapu F. Vzhledem k tomu, komutativní A-algebra, Ca nilpotentní ideální ${ displaystyle N subseteq C}$, jakýkoli A-algebra homomorfismus ${ displaystyle B až C / N}$ lze zvednout na A-algebra mapa ${ displaystyle B až C}$. Pokud je navíc jakékoli takové zvedání jedinečné, pak F se říká, že je formálně étale.^[1][2]

Formálně hladké mapy byly definovány pomocí Alexander Grothendieck v Éléments de géométrie algébrique IV.

U konečně prezentovaných morfismů je formální plynulost ekvivalentní obvyklý pojem hladkosti.

Příklady

Hladké morfismy

Všechny hladké morfismy ${ displaystyle f: X až S}$ jsou ekvivalentní morfismům lokálně konečné prezentace, které jsou formálně hladké. Formální hladkost je tedy mírným zobecněním hladkých morfismů.^[3]

Není příklad

Jednou z metod pro detekci formální plynulosti schématu je použití nekonečně malého kritéria zvedání. Například pomocí zkráceného morfismu ${ displaystyle k [t] / (t ^ {3}) až k [t] / (t ^ {2})}$ nekonečně malé kritérium zvedání lze popsat pomocí komutativního čtverce

${ displaystyle { begin {matrix} X & leftarrow & { text {Spec}} left ({ frac {k [x]} {(x ^ {2})}} right) downarrow && downarrow S & leftarrow & { text {Spec}} left ({ frac {k [x]} {(x ^ {3})}} right) end {matrix}}}$

kde ${ displaystyle X, S v Sch / S}$. Například pokud

${ displaystyle X = { text {Spec}} left ({ frac {k [x, y]} {(xy)}} right)}$ a ${ displaystyle Y = { text {Spec}} (k)}$

pak zvažte tangensový vektor v počátku ${ displaystyle (0,0) v X (k)}$ dané prstenovým morfismem

${ displaystyle { frac {k [x, y]} {(xy)}} do { frac {k [t]} {(t ^ {2})}}}$

odesílání

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & mapsto varepsilon y & mapsto varepsilon end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, protože ${ displaystyle xy mapsto varepsilon ^ {2} = 0}$, toto je platný morfismus komutativních prstenů. Pak, od zrušení tohoto morfismu k

${ displaystyle { text {Spec}} left ({ frac {k [t]} {(t ^ {3})}} right) to X}$

je ve formě

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & mapsto varepsilon + a varepsilon ^ {2} y & mapsto varepsilon + b varepsilon ^ {2} end {zarovnáno}}}$

a ${ displaystyle xy mapsto varepsilon ^ {2} + (a + b) varepsilon ^ {3} = varepsilon ^ {2}}$, nemůže existovat nekonečně malý výtah, protože je tedy nenulový ${ displaystyle X v Sch / k}$ není formálně hladký. To také dokazuje, že tento morfismus není plynulý z ekvivalence mezi formálně hladkými morfismy lokálně konečné prezentace a hladkými morfismy.

Viz také

• Duální číslo
• Hladký morfismus
• Teorie deformace

Reference

externí odkazy

• Formálně hladký s hladkými vlákny, ale ne hladký https://mathoverflow.net/q/333596
• Formálně hladký, ale ne hladký https://mathoverflow.net/q/195

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.