Geometricky pravidelný prsten - Geometrically regular ring

v algebraická geometrie, a geometricky pravidelný prsten je Noetherian ring přes pole to zůstává a pravidelné zvonění po konečném rozšíření základního pole. Geometricky pravidelná schémata jsou definována podobným způsobem. Ve starší terminologii body s pravidelnými místní prsteny Byli povoláni jednoduché bodya byly volány body s geometricky pravidelnými místními kruhy naprosto jednoduché body. Přes pole s charakteristikou 0 nebo algebraicky uzavřená nebo obecněji perfektní, geometricky pravidelné kroužky jsou stejné jako pravidelné kroužky. Geometrická pravidelnost vznikla, když Claude Chevalley a Andre Weil poukázal na Oscar Zariski  (1947 ) že na nedokonalých polích Jacobské kritérium protože jednoduchý bod algebraické odrůdy není ekvivalentní podmínce, že místní kruh je pravidelný.

Noetherian místní prsten obsahující pole k je geometricky pravidelný k právě když je formálně hladký přesk.

Příklady

Zariski (1947) dal následující dva příklady místních kruhů, které jsou pravidelné, ale nejsou geometricky pravidelné.

  1. Předpokládejme to k je pole charakteristik p > 0 a A je prvek k to není pth síla. Pak každý bod křivky Xp + yp = A je pravidelný. Nicméně přes pole k[A1/p], každý bod křivky je singulární. Body této křivky jsou tedy pravidelné, ale ne geometricky pravidelné.
  2. V předchozím příkladu se rovnice definující křivku stává redukovatelnou přes konečné prodloužení základního pole. Toto není skutečná příčina jevu: Chevalley upozornil Zariskiho na křivku Xp + y2 = A (s poznámkou předchozího příkladu) je naprosto neredukovatelný, ale stále má bod, který je pravidelný, ale ne geometricky pravidelný.

Viz také

Reference

  • Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). „Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007 / bf02684322. PAN  0199181.
  • Zariski, Oscar (1947), „Koncept jednoduchého bodu abstraktní algebraické odrůdy.“, Transakce Americké matematické společnosti, 62: 1–52, doi:10.1090 / s0002-9947-1947-0021694-1, JSTOR  1990628, PAN  0021694